14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ.

14.1.Пусть Е - множество элементов некоторой природы, удовлетворяющее аксиомам:

Е - абелева группа относительно групповой операции сложения, т. е. для определена сумма , причем а) ;

б) :

в) существует нулевой элемент такой, что ;

г) существует однозначно определенный противоположный элемент

() такой, что (ноль группы Е).

· Определено умножение элементов из Е на вещественные (комплексные) числа , причем

а);

б);

в) .

Тогда Е - линейное (векторное) пространство.

14.2 Линейные пространства изоморфны, если между их элементами можно установить взаимно - однозначное соответствие такое, что из и следует, что и .

14.3. В линейном пространстве можно ввести понятие линейной независимости элементов. Элементы линейного пространства называются линейно независимыми, если из равенства следует, что .

14.4. Непустое множество называется линейным многообразием, если оно вместе с элементами содержит любую линейную комбинацию этих элементов.

Замечание: Любое линейное многообразие включает в себя нулевой элемент.

- 39 -

Действительно, т.к. , то . Далее, т .к. - линейное многообразие, то оно содержит элемент . Тогда содержит и линейную комбинацию.

Очевидно, на данном множестве элементов можно образовать не одно линейное многообразие. Очевидно также, что пересечение таких линейных многообразий будет наименьшим линейным многообразием, содержащим данную систему элементов . Это наименьшее линейное многообразие, порожденное данной системой элементов, называют линейной оболочкой этих элементов.