13. КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА.

ТЕОРЕМА ХАУСДОРФА:. Для того чтобы множество М метрического пространства Х было компактным, необходимо, а в случае полноты пространства Х и достаточно, чтобы при любом существовала конечная для множества М.

Доказательство:

Необходимость: Пусть М - компактно и пусть для некоторого фиксированного числа не существует конечной

- 36 -

во множестве М . Дальнейшее доказательство приведено в предыдущей теореме.

Достаточность: Пусть при любом существует для множества М. Возьмем числовую последовательность

, где и для каждого п построим .

Рассмотрим произвольную последовательность из М. Так как есть для М, то каков бы ни был элемент , будем иметь, что хотя бы для одного .

Поэтому попадает хотя бы в один шар , т. е. все множество М, а тем более вся последовательность разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность бесконечна, то найдется хотя бы один шар который будет содержать бесконечную подпоследовательность нашей последовательности .

Так как есть для множества М, то, повторяя предыдущие рассуждения, мы получим, что существует подпоследовательность подпоследовательности , входящая целиком в один из шаров , и т. д. Продолжая подобные рассуждения, мы получим подпоследовательности:

- 37 -

выделенные из данной последовательности, причем каждая следующая подпоследовательность есть часть предыдущей, и -я подпоследовательность целиком содержится в некотором шаре Составим диагональную подпоследовательность:

Покажем, что эта последовательность сходится в себе. В самом деле, так как и при входят в ю подпоследовательность, а -я подпоследовательность содержится в шаре , то

По предположению, пространство полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности следует ее сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности сходящейся подпоследовательности, т. е. компактность множества .