15. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

15.1. Множество Е называется линейным нормированным пространством, если:

1) Е - линейное многообразие;

2)ставится в соответствие неотрицательное вещественное число , называемое нормой элемента и удовлетворяющее аксиомам:

а) и = 0 ;

б) ;

в) .

Очевидно, любое линейное нормированное пространство является автоматически метрическим пространством. Действительно, расстояние

удовлетворяет всем аксиомам метрики.

15.2. Точка х линейного нормированного пространства Е называется пределом последовательности , если

- 40 -

. Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме в пространстве Е.

15.3. Если линейное нормированное пространство полное в смысле сходимости по норме, то его называют пространством Банаха или пространством типа В.

Пример: n-мерное евклидово пространство будет пространством Банаха, если положить = . Тогда из сходимости по норме следует сходимость по метрике.