Принцип временной ценности денег

В предыдущей главе 1, в разделе 1.3, были рассмотрены те ис­торические изменения, которые претерпели деньги за последние не­сколько столетий. Основная отличительная особенность современных денег, по сравнению со средневековыми металлическими, состоит в том, что их покупательная способность теперь не остаётся неизмен­ной во времени.

Рис. 6. Схематизация идеи И. Фишера Эта идея И. Фишера затем была развита до принципа, который получил название «принцип временной ценности (стоимости) де­нег. Его суть можно выразить тремя принципиальными тезисами: 1) покупательная способность (стоимость) денежных номиналов зависит от временного фактора «будущего» (один и тот же денеж­ный номинал, например, 1 доллар или 1 млрд. долларов, взятый для разных временных моментов (периодов), будет иметь разную покупа­тельную способность;

Рис. 7. Графическое изображение первого тезиса 2) если не предпринимать специальных усилий по поддержанию покупательной способности сегодняшних (находящихся в обраще­нии) денежных номиналов, последние неизбежно в будущем начнут обесцениваться;

Рис. 8. Графическое изображение второго тезиса

3) чтобы сегодняшние денежные номиналы не обесценивались, необходимо инвестировать в предпринимательские проекты та­кую их часть, которая завтра дала бы прирост материальных ценно­стей, компенсирующий потреблённые блага.

Рис. 9. Графическое изображение третьего тезиса Комментарий к рисункам 7, 8, 9:

- на рис. 7 показано, что сам по себе денежный номинал (один условный доллар) при переходе от сегодня к завтра остаётся тем же самым, однако его покупательная способность меняется: 1$ сегодня не равен по покупательной способности тому же 1$ завтра;

- на рис. 8 показан второй из сформулированных выше тезисов: тот же условный доллар завтра будет дешевле, потому что матери­альные ценности («треугольник» МЦ), которые стоят за долларом се­годня, завтра уменьшатся, поскольку будут потреблены (показан «усечённый треугольник» МЦ);

- чтобы сегодняшний денежный номинал завтра имел ту же по­купательную способность, что и сегодня (и мы могли бы вместо знака > написать =), необходимо часть сегодняшних денег инвестировать в предпринимательские проекты, которые завтра компенсируют по­треблённую (от сегодня до завтра) часть материальных ценностей ДМЦ (рис. 9).

Из принципа временной ценности денег вытекает два логиче­ских следствия:

- с разновременными (относящимися к разным моментам вре­мени) денежными номиналами впрямую (непосредственно) опериро­вать нельзя (запрещено данным принципом);

- если денежные номиналы относятся к разным моментам вре­мени (например, суммы денег, получаемые (выплачиваемые) в раз­ные дни, разные месяцы, разные кварталы и т.п.), то их сначала необ­ходимо привести (пересчитать) к одному моменту времени (к сего­дняшнему или, наоборот, к какому-то будущему моменту) и только после этого их можно складывать, вычитать и т.д.

Исходя из данного принципа, Дж. Уильямс в 1938 г. построил математический аппарат «дисконтированных денежных потоков», получивший название «финансовая математика», и предназначенный для пересчётов стоимости денежных номиналов, относящихся к раз­ным периодам (моментам) времени. В следующих разделах главы 2

последовательно (от простого к сложному) развернём формальные основы финансовой математики.

2.2. Первичная ситуация учёта временной ценности денег

Представим на графической модели (рис. 10) третий пункт принципа временной ценности денег в несколько упрощённом виде (без изображения проектов - их необходимость будем только подра­зумевать) и введём формальные обозначения:

НС - «настоящая стоимость» - денежные номиналы, относя­щиеся сегодняшнему моменту; в англоязычном варианте PV - present value;

БС - «будущая стоимость» - стоимость, которую мы должны иметь завтра (с учётом прироста материальных ценностей, необходи­мого для компенсации обесценения сегодняшних денежных номина­лов); в англоязычном варианте FV - future value.

Введём формальный параметр г, которому придадим три смы­словых плана (рис. 11).

Рис. 11. Смысловые планы параметра r Это значит, что параметр r мы будем трактовать трояким обра­зом, в зависимости от того, какую задачу решаем: то как индекс ин­фляции (темп обесценения денег), то как процент наращивания стои­мости (для компенсации обесценения номиналов), то как требуемую доходность инвестора от вложений денег (с целью сохранения от ин­фляции).

Теперь представим А, входящую в БС, несколько иначе: будем считать, что она является величиной, равной г • НС, где г - процент­ная ставка наращивания настоящей стоимости в будущем, необходи­мая для сохранения сегодняшнего номинала (по стоимости) завтра, или:

За соотношениями (3) и (4) стоят следующие содержательные посылки:

- денежные номиналы, относящиеся к двум разным моментам времени, впрямую не сопоставимы; их всякий раз необходимо при­водить к одному моменту времени: к «будущему» - по формуле (3), или к «настоящему» - по формуле (4);

- выделяют два типа задач, связанных с указанными пересче­тами:

I. Прямая задача - пересчёт «сегодняшних» номиналов в «зав­трашние»; она называется «задачей наращивания (мультиплицирова­ния) стоимости»;

II. Обратная задача - пересчёт ожидаемых будущих («зав­трашних») номиналов в «сегодняшние»; она называется «задачей дисконтирования (приведения к настоящему моменту времени) стои­мости»; тот и другой пересчёт предполагает сохранение баланса стоимостей (при изменении номиналов) во времени;

- параметр r - для прямой задачи трактуется как процентная ставка наращивания стоимости в будущем; для обратной задачи - как требуемая доходность инвестора.

Рис. 12. Графическая модель первой ситуации

Таким образом, мы рассмотрели первую, простейшую теорети­ческую ситуацию, в которой рассматривали два момента времени («сегодня» и «завтра») и две единичные стоимости (НС и БС), кото­

рые должны быть эквивалентны в указанных двух моментах времени. Графически это можно представить так (рис. 12).

2.3. Пересчёт денежных номиналов для n интервалов времени

Если мы имеем несколько временных интервалов (в общем слу­чае - n) и две единичной суммы денежных номиналов - НС на начало первого временного интервала и - на БСП конец последнего n-го вре­менного интервала, то графическая модель этой (второй) ситуации будет выглядеть так (рис 13).

Рис. 13. Графическая модель второй ситуации

На рис. 13 изображена ось времени, на ней - отсечки временных моментов: от 0 - настоящий момент - до n - последний, будущий момент времени, на который (прямая задача) или от которого (обрат­ная задача) требуется сделать пересчёт денежных номиналов. Соот­ветственно, символ будущей стоимости здесь должен иметь индекс последнего момента времени - БСП.

Наращивание (мультиплицирование) будущей стоимости может осуществляться двумя способами (по двум схемам расчётов):

1) простых процентов; 2) сложных процентов.

Схема простых процентов основана на неизменности базы для начисления процентов. Если даны n - периодов, в каждый из которых начисляют проценты, то в итоге (через n - периодов) будем иметь:

Примером применения этой схемы является ситуация банков­ского вклада, когда начисленные за год проценты каждый раз заби­раются вкладчиком.

Схема сложных процентов основана на меняющейся базе для начисления процентов (из-за того, что сами проценты капитализиру­ются):

Рис. 14. Наращивание стоимости по схемам простых и сложных процентов

Примером применения схемы сложных процентов может быть ситуация банковского вклада, когда начисленные в предыдущий год проценты прибавляются к сумме вклада и эта общая сумма служит базой для начисления процентов для следующего периода.

Схема сложных процентов - базовая в финансовом менеджмен­те. Коэффициенты наращивания и дисконтирования стоимости, рас­считанные по данной схеме, табулированы. Это значит - рассчитаны для всех значений возможных процентных ставок (г) и временных моментов (t). Результаты расчётов внесены в специальные финансо­вые таблицы, которые есть в любом учебнике финансового менедж­мента, в том числе в данном учебном пособии (см. Приложение 4).

В таблицу 3 Приложения 4 помещены «мультиплицирующие множители» - коэффициенты наращивания стоимости для разных процентных ставок (r) - первый параметр, и разных будущих момен­тов времени (t = 1, 2, 3, ... n) - второй параметр:

Соответственно,

Если рассматривается обратный процесс - дисконтирование (приведение к настоящему - нулевому - моменту) для разных про­центных ставок r и моментов времени n, то в основе лежит та же схе­ма сложных процентов, только формула выглядит иначе:

«дисконтирующий множитель». Его

значения помещены в таблицу 1 Приложения 4.

Методика работы с финансовыми таблицами дана в Приложе­нии 5.

2.4. Пересчёт денежных потоков общего вида

Следующим усложнением (третья ситуация) является переход к рассмотрению не единичной денежной суммы, а денежного потока - фундаментального понятия финансового менеджмента.

Денежный поток - это последовательность денежных поступ­лений (платежей) в течение нескольких периодов, осуществляемых через равные интервалы времени: С1, С2, С3, ... Сп.

В общем случае, все Q могут быть неравными друг другу и быть с разными знаками: если с «+», то это трактуется как поступление де­нег, если с «-», то это - выплаты (инвестиции) денег.

При этом различают две разновидности денежных потоков:

а) пренумерандо; б) постнумерандо.

Рис. 15. Графическая модель денежного потока пренумерандо» «Постнумерандо» - это денежный поток, платежи которого осуществляются в конце каждого временного интервала (периода). В содержательном плане - это процесс отдачи от вложений (инвести­ций, труда) (рис.16):

Рис. 16. Графическая модель денежного потока «постнумерандо»

«Пренумерандо» - это денежный поток, платежи которого осу­ществляются в момент начала каждого временного интервала (перио­да). В содержательном плане - это поток авансов и предоплат (рис. 15):

Оценка того и другого денежного потока (ДП) может осущест­вляться в рамках решения тех же двух задач:

Прямая задача - это оценка каждого из элементов денежного потока с позиции будущего, и затем суммирование элементов ДП,

пересчитанных на последний (n-й) момент времени (наращивание, или мультиплицирование суммарной стоимости ДП).

Смысл прямой задачи состоит в следующем: если на чей-то счёт в банке через равные промежутки времени (например, в конце каждо­го месяца) поступают некоторые денежные суммы С1, С2, С3 ,... Сп и требуется узнать, сколько там накопится через год (n равно 12 ме­сяцев), то впрямую величины Q складывать нельзя, поскольку на них будут начисляться проценты. Поэтому их все нужно сначала, как бы, «сдвинуть» на конец года, скорректировав каждую величину Q на соответствующий коэффициент наращивания стоимости. Таких «сдвижек» придётся сделать: для первого элемента (п - 1) раз (вре­менных интервалов), для второго (п - 2) раза, и т.д., в общем случае (n - t) разов. И только после этих процедур можно будет суммировать величины, относящиеся уже к одному, конечному, или n-му моменту времени.

Обратная задача - это оценка каждого элемента ДП с позиции настоящего (дисконтирование, или приведение суммарной стоимости ДП к нулевому моменту) и затем суммирование.

Смысл обратной задачи не столь прозрачен, нежели - прямой. Суть здесь можно понять на следующем примере, который типичен для практики именно финансового менеджера.

Если стоит задача определить, по какой максимально допусти­мой цене имеет смысл покупать на рынке выставленную на продажу ценную бумагу, то следует определить ту общую сумму денег (в виде дивидендов, если это - акция, купонных доходов, если - корпоратив­ная облигация и т.п.), которую она может принести инвестору в бу­дущем за всё время действия данной ценной бумаги. Эта сумма всех будущих поступлений денег и будет определять максимально допус­тимую цену бумаги, которую за неё может себе позволить дать инве­стор.

Но здесь есть важный нюанс: разновременные денежные номи­налы складывать нельзя (в соответствии с принципом временной

ценности денег). В силу их инфляционного обесценения от периода к периоду 1000 долларов сегодня и 1000 долларов, например, через 10 лет - существенно разные (по покупательной способности) денежные номиналы. Поэтому все они должны быть сначала пересчитаны на се­годняшний момент времени (момент покупки ценной бумаги) с учё­том предстоящего обесценения. Последнее обеспечивается за счёт процедуры дисконтирования элементов денежного потока, т.е. «сдвижки», или пересчёта, каждого элемента ДП к начальному мо­менту на то количество шагов, которое соответствует его номеру на оси времени: первый - на 1 шаг влево, второй - на 2 и т.д. При этом ставка г, по которой должен делаться пересчёт элементов ДП, здесь будет трактоваться инвестором как «требуемая доходность», необхо­димая ему для компенсации инфляционного обесценения денежных номиналов в предстоящих будущих периодах.

Графическое изображение прямой задачи для ДП постнуме- рандо (для краткости - «пст») представлено на рис. 17:

Рис. 17. Графическая модель наращивания ДП «постнумерандо»

Такая графическая конструкция (и ей подобные, рассматривае­мые ниже) носит название Cash Flow Model - Модель денежного по­тока, или «Модель кэш-фло».

Символ X БСпст называется «суммарной будущей стоимостью денежного потока постнумерандо». Эта величина рассчитывается следующим образом:

или с использованием мультиплицирующих множителей из фи­нансовой таблицы 3 Приложения 4:

Графическое изображение обратной задачи для денежного по­тока постнумерандо представлено на рис. 18:

Рис. 18. Модель дисконтирования денежного потока постнумерандо»

Символ X НСпст называется «суммарной настоящей стоимостью ДП постнумерандо». Расчет этой величины осуществляют по сле­дующим формулам:

или с использованием дисконтирующих множителей из финан­совой таблицы 1 Приложения 4:

Если речь идет о денежном потоке «пренумерандо» (для кратко­сти - «пре»), то для прямой задачи графическая модель ДП будет вы­глядеть следующим образом (рис. 19):

Рис. 19. Модель наращивания денежного потока пренумерандо

Нетрудно видеть, что для получения величины X БСпре необхо­димо сделать (по сравнению с расчетом X БСпст) на одну сдвижку больше по каждому элементу денежного потока. Формально это бу­дет выглядеть так:

Обратная задача для денежного потока «пренумерандо» может быть представлена графически следующим образом (рис. 20):

Рис. 20. Модель дисконтирования денежного потока «пренумерандо»

Расчёт величины ХНСпре может быть осуществлен за счёт «сдвижки» влево каждого элемента ДП, причём таких «сдвижек» бу­дет на одну меньше (по сравнению с расчётом ХНСпст). Формально это выглядит так:

2.5. Пересчёт аннуитетов

2.5.1. Аннуитет общего вида

Аннуитет - частный случай денежного потока; это - денеж­ный поток, в котором денежные платежи (поступления) во всех пе­риодах одинаковые по номинальной величине (A).

Аннуитеты также бывают двух видов: пренумерандо (рис. 21):

Рис. 21. Аннуитет «пренумерандо»

Аннуитет - чрезвычайно распространённый в финансовой прак­тике вид денежного потока. Его примерами могут служить ежемесяч­ные выплаты зарплаты в виде окладов, получение ежегодных фикси­рованных дивидендов владельцем привилегированной акции или ежепериодные выплаты инвестору купонного дохода по облигации.

Для аннуитетов решают те же самые прямую и обратную зада­чи. Содержательный смысл их тот же, что и для денежных потоков общего вида.

Для аннуитета постнумерандо суммарная будущая стоимость ХБАпст будет равна:

Поскольку выражение под знаком суммы в формуле (18) зави­сит только от двух формальных параметров, его значения тоже табу­лировали. Соответственно, табличные значения мультиплицирующих множителей для аннуитетов постнумерандо М3(г, n) можно найти в таблице 4 Приложения 4.

C использованием данных множителей формулу (18) можно эк­вивалентно переписать следующим образом:

где: г - требуемая доходность инвестора (процентная ставка на­ращивания стоимости элементов аннуитета);

n - количество элементов аннуитета.

Аналогично рассчитывается суммарная настоящая стоимость аннуитета постнумерандо:

Выражение под знаком суммы в формуле (20) также табулиро­вано (см. таблицу 2 из Приложения 4). Дисконтирующие множители этой таблицы будем обозначать М4(г, n). С использованием этих множителей формулу (20) можно эквивалентно переписать следую­щим образом:

где: г - требуемая доходность инвестора, компенсирующая ин­фляционное обесценение элементов аннуитета;

n - количество элементов в аннуитете.

Для аннуитетов пренумерандо применяются те же процедуры уточняющего пересчёта, что и для соответствующих денежных пото­ков общего вида (см. формулы 15 и 17):

Существует 2 частных случая аннуитетов:

а) бессрочный аннуитет (перпетуитет);

б) составной аннуитет.

2.5.1.