Мартингалы. Дискретное время

Сначала об истории термина «мартингал». Мартингалом называют часть конской сбруи, не позволяющую коню поднимать голову слишком высоко. У игроков так называется стратегия, состоящая в повышении в два раза ставки в случае проигрыша и прекращения игры в случае выигрыша.

Опишем эту стратегию в терминах случайных величин, используя обозначения предыдущего параграфа.

Положим

Тогда случайная величина

будет описывать упомянутую мартингальную стратегию, т. е. после первого выигрыша значение Mn не будет изменяться и будет равно 1. Дадим теперь формальное определение мартингала.

Последовательность σ-алгебр {Тп} для случайного блуждания удобно представлять себе как последовательность, п-й элемент которой содержит всевозможные исходы всех испытаний с номерами от 1 до гг включительно. Тогда измеримость случайной величины Mn относительно Tn

означает, что значения величины Mn полностью определяются исходами первых п испытаний. Отметим также, что в определении мартингала неявно (в условном математическом ожидании) присутствует вероятностная мера, заданная на σ-алгебрах Tq , Т\,... (это обстоятельство будет весьма существенным для приложений).

Свойство мартингалов: Если {Мп} — мартингал, то E (Mn) = E (M0) для всех п. Действительно, применяя свойство d) условных математических ожиданий (см. приложение А.2) и свойство 3 мартингалов, получим

I.

Mn = Sn. То, что Mn измеримо относительно Tw очевидно (значения капитала в момент п полностью определяется исходами испытаний с 1-го по п-е). Поскольку IAraI ^ гг, то второе свойство также выполняется. Проверим третье свойство:

(по свойству линейности условного математического ожидания)

Так как Sn — Srw | = Xn не зависит от исходов предыдущих испытаний, то условное математическое ожидание равно обычному (безусловному):

2.3