Применение мартингалов к случайным блужданиям

1.

Найдем «вероятность неразорения» для нечестной игры.

Через т обозначим марковский момент

т, е.

2. Вычислим теперь среднюю продолжительность нечестной игры. Для этого в условиях предыдущего примера рассмотрим мартингал Mn = Sn — п(р — q) из примера 2 пункта 2.1. Так же, как и в случае честной игры, используя производящую функцию, можно установить, что E (т) < оо. Поскольку |МпЛг| ^ тах(Д В) + r(q — р), то по теореме Лебега А.1

Так как (по теореме о процессе остановки) Mvfvr — мартингал, то E (Mnfyr) = E (Mqat) = 0, и, с учетом того, что Hmn^00 МпАт = Mr, полу-

чим

O = E (Mr) = E (Sr) — E (т) · (р — д) =

= A-P(St = A)-B- P(St = -В) + E (г) -(q-p),

откуда

Вопросы и задачи

1. Проделайте рассуждения, аналогичные использованным в последнем пункте, для нахождения «вероятности неразорения» и средней продолжительности игры в случае честной игры.

2. Рассмотрим игру, в которой на каждом шаге игрок проигрывает 1$ с вероятностью 0.51, выигрывает 1$ с вероятностью 0.47 и выигрывает 2$ с вероятностью 0.02. Ответить на те же вопросы, что и выше, для такой игры, используя мартингал xSn.

3. При каких ап и Ъп последовательность Mn = Sn + CinSn + Ьп, где Sn соответствует случайному блужданию для честной игры, является мартингалом?

3