ЛОГИКА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В современной теоретической науке уже стало традицией рассматривать время и пространство в непрерывной связи, но ни физически, ни с позиции логики эта связь не обосновывается.

X[3]+ у2 + z2 - c2t2 = 0, и в системе k', соответственно, x'2+ у'2 + z'2 - c2t'2 = 0.

Поскольку скорость света с в системах k и k' принимается, по гипотезе Лоренца-Пуанкаре, одинаковой, то зрители должны признать тот факт, что время в этих системах течет по-разному, ибо они видят, что фронты вспышек в геометрические места с радиусом ct и, соответственно, радиусом ct' приходят не одновре­менно. Заметим, что в классической физике это противоречие невозможно, благодаря тому, что скорость с в системах k и k' вы­ражается соотношением: c' = c + v, т.

Согласно СТО, все указанные «события» происходят в некоем псевдоевклидовом пространстве (псевдо - значит, не существую­щем). Специфика этого геометрически подобного многообразия такова, что в нем пространственные промежутки и временные интервалы изменяются (соответственно сокращаются и замедля­ются), если их измерять в системе отсчета, движущейся с некото­рой скоростью относительно той, в которой находятся измеряе­мые предметы - реальные стержни и реальные часы. Но измере­ние - это физическое действие, состоящее в сравнении измеряемого предмета с подобным ему предметом, выбранным в качестве еди­ницы (модуля) для данного класса предметов. Другими словами, логика измерения такова, что она удовлетворяет закону тождест­ва лишь в той системе отсчета, в которой одновременно находятся наблюдатель и измеряемый им предмет, и именно в этом состоит логическая сущность принципа относительности Галилея.

u - v

1 - uv/ c2

оцениваемое величиной скорости света. С помощью этих преоб­разований также можно оценить и погрешность при измерениях «стержней» и «секунд»: она устремляется к нулю, когда системы отсчета покоятся друг относительно друга, и становится беско­нечной величиной, когда их относительная скорость приближает­ся к значению с. Для малых же значений скоростей (u могут быть только факты. Такими очевидными фактами, касаю­щиеся пространства (некоторые философы называют их априор­ными, а некоторые математики - интуитивными), выступают, на­пример, следующие аксиомы:

а) между двумя точками можно провести лишь одну прямую;

б) прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками;

в) каждое тело имеет длину, высоту и ширину.

Можно привести много и других очевидных аксиом, которые люди создали, «миллиарды раз» наблюдая в окружающем мире метрические и топологические (непрерывные) свойства про­странства. Очевидными эти аксиомы становятся лишь потому, что мы (логические субъекты) обладаем зрением, живя в особом информативном пространстве, формируемом электромагнитным полем в диапазоне волн видимого света. Желая избежать субъек­тивности в описании внешнего мира, некоторые современные философы (и все чистые математики) пошли по ложному пути в отношении теории познания, и впали в противоположную край­ность, а именно: в объективизм.

Почему пространство имеет три измерения? Потому что мы видим длину, высоту и ширину любого пространственного предме­та. Какие существуют возможности для описания понятия про­странства в математике? Если не следовать объективистской па­радигме в теории познания, а просто следовать здравому смыслу, то мы должны призвать в качестве свидетелей наши чувства и по­строить декартову систему координат, взяв в качестве инструмен­тов линейку и циркуль. Именно так возникло понятие размерно­сти в физике. Другими словами, в физике эти представления прошли путь от числа три, характеризующего объективным обра­зом весь наблюдаемый нами материальный мир, до физического понятия, связанного со свойствами физических явлений и допус­кающего физическое измерение с помощью некоторого эталона длины. В математике же был пройден другой путь: от числа три, имеющего довольно неопределенное выражение, до полностью абстрактного (или, как говорят математики, формального) поня­тия размерности, пробегающей значения от нуля до бесконечно­сти. Короче говоря, сколько имеется в уме у математиков чисел, столько же, по их мнению, может быть и размерностей простран­ства. И самое парадоксальное на данном этапе построения абст­рактной теории размерности математики вовсе не беспокоятся о том, что это построение должно быть (в их терминологии) топо­логическим, или (в нашей терминологии) логически непрерывным.

Что касается ретроспективного рассмотрения идеи трехмер - ности пространства, то Аристотель, например, считал, что число 3 мы берем из природы как один из ее законов, и, «принимая са­му природу в качестве нашего руководителя», нет никакого смыс­ла спрашивать: «почему пространство трехмерно?» С позиции эротетической логики данный вопрос глупый, потому что, если его задать природе, то, умей она говорить, ее ответ, по-видимому, прозвучал бы так: «Раскрой пошире свои глаза, протри свои очки и посмотри на пространство, в котором ты живешь», а такие от­веты, как известно, ведут к зарождению конфликтов (поэтому они и называются глупыми).

Здесь необходимо отметить, что говорить об идеях пифаго­рейцев, Аристотеля и даже Евклида, применяя современное по­нятие «размерность», не совсем корректно. Геометрическая идея измерения длины, т. е. метрическая точка зрения на геометрию, принадлежит Архимеду, поэтому, говоря о традиционной гео­метрии, мы называем ее евклидово-архимедовой. Аристотель же в своих натурфилософских работах говорит о величинах, о про­тяженностях, о направлении, о непрерывности, но не об измере­нии. Можно сказать, что аристотелевское определение понятия пространства, основанное на идее непрерывности, по существу имеет топологический характер. Однако история математики предпочла не воспользоваться аристотелевской аксиомой непре­рывности, а дала возможность возникнуть и победить дискретным метрическим представлениям, прежде чем в XVIII в. пробились первые ростки топологии и только в начале XX в. появились пер­вые попытки топологического определения размерности.

Перенесемся теперь от Аристотеля на два тысячелетия впе­ред, в середину XVIII в., к представителю немецкой классической философии - Канту. Это вовсе не означает, что между ними не было никого, чьи имена стоило бы упомянуть в связи с историей представлений о визуальном пространстве. Были Галилей, Нью­тон, Лейбниц и др. мыслители, труды которых положили начало физике Нового времени. И все же именно Канту принадлежит идея визуального пространства, опирающаяся на конкретный физический закон.

Кант, будучи студентом Кенигсбергского университета, опубликовал свою первую натурфилософскую работу «Мысли об истинной оценке живых сил и разбор доказательств, которыми пользовались г-н Лейбниц и другие знатоки механики в этом спорном вопросе, а также некоторые предварительные сообра­жения, касающиеся силы тел вообще». Эта книга была посвящена в основном вопросу: какая величина является истинной мерой движения - декартова «мертвая сила»(мѵ) или лейбницева «жи­вая сила» (mv2), но несколько страниц в ней были посвящены также физическому обоснованию факта трехмерности простран­ства. «Трехмерность, - пишет Кант, - происходит, по-видимому, оттого, что субстанция в существующем мире действует друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорцио­нальна квадрату расстояния»[9]. Как очевидно, геометрически - это сфера, и каждая элементарная площадка сферы уменьшает поток гравитационных силовых линий, а для наблюдателя - плотность светового потока, по обратному квадратичному закону: 1/r2. Итак, визуальное геометрическое пространство трехмерно в силу зако­нов Кавендиша и Кулона, так как именно эти физики впервые доказали эту зависимость с помощью крутильных весов для инертных масс и электрических зарядов.

Привели же Канта к этому предположению рассуждения, восходящие к Аристотелю об относительности пространства (точнее, относительности «мест, занимаемых телами») и невоз­можности пустоты. «Легко доказать, что не было бы никакого пространства и никакого притяжения, если бы субстанции не об­ладали никакой силой действовать вовне. Ибо без этой силы нет никакой связи (курсив наш.- В. П.), без связи - никакого порядка и, наконец, без порядка нет никакого пространства.». В заключе­ние же Кант говорит: «Эти мысли могут послужить наброском для некоего исследования, которым я намереваюсь заняться. Я готов, поэтому снова отказаться от них, как только более зрелое суждение раскроет мне их слабость»2. Так и произошло, как толь­ко Кант отошел от естествознания и стал чистым философом. В так называемый критический период его творчества он пришел к представлению о том, что пространство априорно, т. е. не зависит от опыта, и, разумеется, не может зависеть от конкретного распре­деления сил взаимодействия. А все свои ранние работы он объявил заблуждениями «догматического сна». От этого, однако, гениаль­ная догадка молодого Канта не стала менее гениальной.

Итак, пространство трехмерно и евклидово потому, что силы взаимодействия между материальными телами и электрически­ми зарядами изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния, а мы, как наблюдатели (каждый из нас, и в этом смысле мы равноправны), всегда находимся в центре сферы, ибо данное взаимодействие мы всегда рассматриваем со своей точки зрения. Конечно, можно снова спросить: «А почему силы взаимо­действия изменяются обратно пропорционально квадрату рас­стояния?». И с позиции эротетической логики такой вопрос вполне корректен, потому что он подразумевает ответ, в котором должна быть освещена причинно-следственная зависимость меж­ду расстоянием и временем взаимодействия. Ведь в законе Гука сила взаимодействия изменяется по закону прямой пропорциональ­ности от расстояния, а именно: F = kx. И если бы мы жили в мире Гука, то и пространство мы видели не в форме сферы, а в виде прямых линий, расходящихся от наблюдателя в «бесконечную даль». Однако такое пространство уже не обладало бы топологи­ческими свойствами: оно было бы дискретным и каждый переход от одной точки зрения к другой сопровождался бы непредска­зуемым скачком без обратного хода. Поэтому самое время перей­ти к «проблеме времени», чтобы понять, как оно связано с про­странством в сложном понятии «пространство и время».

О «ПРОБЛЕМЕ ВРЕМЕНИ»

То, что вопрос о «проблеме времени» по-прежнему актуален и волнует многих философов и интеллектуалов, видно хотя бы из того, сколько переиздается разнообразной литературы о «сущно­сти времени», навеянном идеями СТО. Если мысленно вернуться в 20-е годы прошлого века, когда СТО начала свое триумфальное шествие по странам и континентам, то становится понятным стремление почти всех известных философов что-то написать о времени и непременно с релятивистским уклоном, дабы в глазах научного истеблишмента того времени не прослыть «философом, не понявшим теории относительности». Так, Бергсону принадле­жит сочинение «Длительность и одновременность», Кассиреру - толстая книга о теории относительности. Хорошо известны раз­мышления о времени Гуссерля, а «Бытие и время» Хайдеггера стало бестселлером еще при жизни автора, на что, по-видимому, сильное влияние оказало его математическое прошлое. И мате­матики тоже испытывали творческий зуд и сочли необходимым высказать свое профессиональное мнение на этот счет. Здесь мы упомянем только Фридмана, пионера инфляционной (расши­ряющейся) космологии. В своей популярной книге на эту тему он приводит отрывок в оригинале из «Исповеди» Августина, где по­следний фактически впервые в истории идей излагает представ­ление об относительности времени, так что его следует причис­лить к истинному пионеру релятивистской доктрины, намного опередившего Пуанкаре - Лоренца - Эйнштейна. В середине 20-х гг. выходит и книга Германа Вейля «Philosophie der Mathematik und Naturwissenschf», где «проблеме времени», как, впрочем, и «проблеме пространства» в свете СТО знаменитый немецкий ма­тематик уделяет много эмоциональных строк.

Начнем рассуждения о понятии времени с рассмотрения способа его измерения. Измерение времени - наша повседневная забота, но отнюдь не проблема философии или математики, и измеряем мы длительность времени с помощью часов - прибора, в котором сохраняется циклическое движение[10]. С точки же зрения классической физики, математическое время - прямая, не имеющая начала и устремленная в бесконечное будущее. У каж­дого наблюдателя начало времени свое - время его рождения, и конец свой - его смерть, и именно в этом смысле (как это ни обидно!) течение времени в нашем мире нельзя повернуть вспять. Данное свойство времени с точки зрения смертного наблюдателя характеризует его необратимость. Что касается скорости течения необратимого времени, то она может значительно отличаться от точки зрения того или иного наблюдателя. Например, у некото­рых людей время вообще делится только на две части - на «хоро­шее» время (это выходные, праздники и отпуск, и летит оно бы­стро), и на «плохое» время (это будни и сопровождающие их не­приятности, связанные с трудовой деятельностью, и тянется оно медленно).

Посмотрим внимательно на какие-нибудь часы, например, на будильник. Что есть часы в отношении к необратимому вре­мени? Часы имеют какой-то период Т, скажем 60 минут для ми­нутной стрелки, и в часах как приборе это выражается в том, что каждые 60 минут большая стрелка совершает один полный обо­рот, начиная после него следующий и так без конца. Необрати­мое время уже ушло и никогда не повторится, но на часах стрелка вновь проходит все тот же круг, и если мы привяжем свое созна­ние к обратимому времени, то на первый взгляд может показаться, что вместе с этой стрелкой мы также будем жить вечно. Более того, и время внутри нас будет течь быстрее или медленнее, в за­висимости от того, к каким часам мы себя привязали. Ведь имен­но так рассуждают релятивисты, верующие в чудо часов, которыми они подменяют время, а это есть серьезная логическая ошибка - подмена понятий. Вот, например, как об этом с полной серьезно­стью пишет физико-математик, но отнюдь не писатель - фантаст Д.В.Скобельцын: «Проще предположить, что часами являются те самые осцилляторы, которые и служат передатчиками - излуча­телями световых сигналов. Однако для нас существенно то, что по смыслу теории относительности под "часами", о которых мы говорили, можно было бы понимать и любую систему, парамет­ры которой изменяются регулярным образом (и не обязательно периодически) во времени (курсив наш. - В. П.). Иными словами, речь могла бы идти о любых процессах, изменяющихся законо­мерно во времени. Любые процессы (в том числе и процессы жиз­недеятельности организмов) в системе, движущейся равномерно относительно некоторой инерциальной системы, наблюдателю, покоящемуся в этой последней системе, представляются замед­ленными в соответствии с формулой (1.13)»[11].

Однако, если мы вспомним, что любые часы необходимо хо­тя бы раз в двое суток заводить (или каждые четыре-пять месяца менять в них батарейку), то иллюзия вечности обратимого време­ни сразу же исчезает. Так же не вечны и любые процессы, даже те, которые мы рассматриваем в качестве «осцилляторов - передат­чиков световых сигналов». Время любого процесса не может быть обратимым, а если некто его таким себе представляет, то этим представлением он время же логически отрицает, подменяя его часами - прибором, которым мы время лишь измеряем в своей ИСО. Что касается другой ИСО, движущейся относительно пер­вой с субсветовой скоростью, то, согласно принципу относитель­ности Галилея, мы в принципе не можем знать, что там происхо­дит с ее часами, которые также необходимо заводить, и наблюда­тель этой ИСО по-видимому это как-то делает. Сказанное легко обосновывается достаточно незатейливым остенсивным рассуж­дением с опорой на наглядность, обращенную к нашему внутрен­нему сознанию.

Когда мы измеряем время с помощью часов, стрелки кото­рых проходят один за другим полные круги, то откуда мы знаем, сколько прошло минут, часов или суток? В данной ситуации без нашего внутреннего чувства времени не обойтись, с помощью ко­торого мы чувствуем течение времени без всяких часов и каких- либо ориентиров. Известно, например, что космонавты проходят особые тренировки в абсолютно изолированных помещениях, называемых сурдокамерами. Это, можно сказать идеальные ИСО, в которые извне не проникает ни свет, ни звук, и человек остается один на один со своим внутренним сознанием необратимого вре­мени. И если в таких условиях невозможно решить пространст­венную проблему, связанную с относительным движением, то проблема времени решается как-то сама собой, т. е. проблемы вре­мени не существует в ИСО. В специально поставленных экспери­ментах люди, проводившие дни и ночи в абсолютно изолирован­ной камере или в глубокой пещере, определяли время с довольно высокой, иногда чуть ли не до процента, точностью. Это означает, что, например, продолжительность часа подопытные регистри­ровали с ошибкой в две-три минуты, а продолжительность суток с ошибкой, не превышающей получаса. А вот другие широко из­вестные эксперименты. Испытуемым давалось перед сном зада­ние проснуться без будильника, скажем, ровно в семь часов. И тренированные люди, среди которых были альпинисты, космо­навты и летчики, с хорошей точностью просыпались в заданное время, хотя в обычной жизни они все были не прочь поваляться до естественного пробуждения. Это означает, что у каждого из нас имеются внутренние часы, которые исправно регистрируют ход времени, и когда мы бодрствуем, и когда мы спим, т. е. мы надежно связаны с физическим миром посредством времени, вне зависимости от того, в какой ИСО мы находимся или, более того, из какой ИСО и в какую мы переходим. Но ход времени внутри нас также требует подзарядки, как и любые часы вне нас. Други­ми словами, функционирование часов внутри нас - это процесс с отрицательной работой. Значит, согласно принципу нулевой ра- боты[12], для того чтобы они функционировали непрерывно (пока мы живы), в нашем организме должны проходить соответствую­щие процессы, имеющие отношение к времени, с положительной работой.

В физике существует множество часов, в котором самих по се­бе приборов для измерения времени может быть сколько угодно и какой угодно конструкции, но, как всякое множество, все часы объединены в логическое целое посредством определенного ин­варианта - единицы времени. Часами в этом смысле мы называем любой периодический процесс: вращение Земли, движение Лу­ны, наши обычные механические или электронные часы, колеба­ния атомов, но все эти часы объединяет в одно понятие «часы» их свойство в той ли иной мере сохранять свой период за счет како­го-то источника энергии. Другими словами, все часы имеют свой период, измеряемый временем какого-либо эталонного периода, но при одном необходимом условии: наряду с отрицательной работой, которая, собственно говоря, и выступает тем внешним фактором, благодаря которому время внешне выступает как часы, внутри часов должен протекать обратный процесс, характери­зующийся положительной работой. Если эти периоды соизме­римы, скажем, один период есть целое кратное другого, то их можно условно изобразить окружностями, между которыми имеется отображение синхронизации. И над всем этим миром круговых циклов царит бесконечная прямая необратимого вре­мени, которая объективно синхронизирована со всеми реальны­ми часами посредством указанного инварианта, физически вы­ражаемым, условно говоря, планковским квантом действия.

Возникающий вопрос состоит не в том, чтобы измерить ве­личину этого кванта действия (как станет ясно из последующего, это невозможно), а в том, чтобы понять, каким образом часы по­стоянно заводятся в природных условиях. Если мы рассматриваем ход любых часов как однонаправленный процесс, то наша модель необратимого времени логически неполна: мы попадаем в энтро­пийный мир Клаузиуса - Больцмана, который, как известно, об­рекает Вселенную на «тепловую смерть». При этом ясно одно, что при измерении единицы времени мы вынуждены с самого начала отказаться от всех чувственных вспомогательных средств. Ведь мы не можем совместить два промежутка времени, так как сущест­венный признак времени именно в том, что любые две его части не могут быть даны вместе. Нам поэтому приходиться действо­вать косвенным путем, что впервые понял Аристотель, обратив­шись в определении времени за поддержкой к явлениям цикли­ческого движения.

В Новое время в рамках классической теоретической механи­ки можно было рассматривать равными те интервалы времени, в которые предоставленная самой себе материальная точка описы­вает под действием центральной силы равные пространственные кривые - эллипсы. Здесь мы оказываемся перед тем предельным понятием, в объяснении которого дополнительным логическим действием выступает закон всемирного тяготения и, таким обра­зом, вращение любой планеты Солнечной системы дает нам фи­зический прототип искомого эталонного времени. Однако более точное рассмотрение механической картины мира сейчас же об­наруживает разницу, существующую между идеализацией (пре­дельным понятием) и ее эмпирической реализацией. Поэтому для начала предположим, что истинными физическими едини­цами служат не вещественные масштабы - «жесткие стержни» или «часы», как уже более ста лет утверждает СТО, а эти единицы содержатся как инварианты в соответствующих физических зако­нах. Каким необычным ни кажется на первый взгляд это положе­ние, оно, как показывает исторический опыт, точно обозначает основную проблему физики.

КЕПЛЕРОВО ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ

Третий закон Кеплера излагается так: отношение квадратов периодов любых двух планет равно отношению кубов их больших полуосей эллиптических орбит, по которым они обращаются вокруг центрального тела:

Кеплер вывел этот закон, как и предыдущие два, индуктив­ным способом, т. е. посредством тщательного анализа опытных данных, полученных датским астрономом Тихо Браге, и их после­дующим обобщением, а именно: измерением времен обращения планет вокруг Солнца и вычислением геометрическим способом средних расстояний планет до светила. Далее, поскольку средняя скорость вращательного движения v = 2nR/T, то, подставляя это выражение для v1 и v2 в написанное выше соотношение и произ­водя соответствующие преобразования, получим (R1v2/R2v1)2 = (R1/R2)3, или, проведя сокращение,

Окончательно находим

v12R1 = v22R2 = ... = vn2Rn = K, (1)

где K - предел некоторой переменной величины (назовем его пределом Кеплера), и он имеет размерность L3T-2. Если первый член соотношения (1) получен, например, для Марса, то следую­щие члены применимы для любой планеты Солнечной системы: Венеры, Земли, Сатурна и т. д. Разумно предположить, что ука­занное соотношение применимо не только для планет, но и для других небесных тел, движущихся в гравитационном поле цен­трального небесного тела, например, комет и астероидов, огром­ное число которых вращается вокруг Солнца по различным ор­битам, и Кеплер думал именно так. Единственное уточнение формулы Кеплера заключается в том, что предел K характеризует инерциальное космическое движение. Все небесные тела в той или иной степени подвержены возмущениям, поэтому параметры их орбит в соответствующей степени отклоняются от предельного значения K. Закону Кеплера подчиняются и небесные тела, дви­жущиеся вокруг планет как центральных тел, и движение искус­ственных спутников Земли в наше время (пока параметры их движения близки к параметрам стационарной орбиты), надеж­ное тому подтверждение.

В выражение для третьего закона Кеплера не входят массы планет, массы комет и астероидов, а также массы спутников (есте­ственных и искусственных), вращающихся вокруг планет, но мас­сы, как очевидно, у всех перечисленных небесных тел существуют. Если следовать схеме гравитационного взаимодействия, начер­танной Ньютоном, то следует признать все то, о чем мы говорили ранее, рассматривая вынужденное вращение тел на условно не­растяжимой нити. При вынужденном (неинерциальном) движе­нии должны периодически возникать силы, исходящие из цен­трального тела, которые, кроме поддержания движения равно­мерным, совершают также необратимую работу. Именно необра­тимая составляющая такого взаимодействия вызывает у вынуж­денно движущегося тела центростремительное ускорение. В свою очередь, вращающемуся телу, чтобы оставаться на стационарной орбите, необходимо периодически противодействовать центро­стремительной силе таким образом, чтобы сохранять неизменной свою линейную орбитальную скорость.

Рассмотрим в рамках этой схемы движение Земли вокруг Солнца в евклидово-архимедовом пространстве, как это прово­дится во всех учебниках, поясняющих теорию тяготения Ньютона на геометрической модели (рис. 1). Традиционно центростреми­тельное ускорение вычисляют, рассматривая изменение танген­циальной скорости Земли за «единицу времени», равную 1 сек, т. е. вычисляют, как очевидно, среднюю величину данного измене­ния скорости.

С таким же успехом эту величину можно вычислить и за та­кие «единицы времени», как за 1 минуту, 1 час, 1 месяц и т. д., по­лучая при этом различные значения так называемого «центрост­ремительного ускорения». Итак, пусть вектор А на рис. 1 изобра­жает скорость Земли в данный момент времени. Так как Земля за 1 год (3,2-107 с) проходит дугу 360°, то каждую секунду она смеща­ется на угол (360/3,2-107^. Эту угловую скорость обозначим буквой ю. Через секунду после того как Земля находилась в точке А, ско­рость планеты изобразится вектором В, которая по определению имеет такую же величину, как А, но повернута на угол ю. При этом игнорируется тот очевидный факт, что указанные векторы характеризуют движение Земли в разное время и в разных точках пространства. Таким образом, в нарушение закона тождества геометрически совмещаются начальные точки указанных векто­ров, не меняя их направление и величину, как это показано на рис 1.

Изменение скорости за 1 с есть разность между А и В, кото­рая на рисунке обозначена отрезком С, величину которого нахо­дят через А, В и ю, полагая их величинами известными. На осно­вании этого C/2nA = ю/360°, откуда

С = (360-2u-30-105) @(3,2-10^360Q = 0, 59 см/с2.

Эта величина, как физики полагают уже более трех столетий, характеризует изменение направления вектора скорости Земли за одну секунду, поэтому они считают, что центростремительное ускорение нашей планеты в точности равняется 0,59 см/с2. По­скольку «центростремительное ускорение» направлена в сторону Солнца, то Земля падает на Солнце с ускорением, равным ука­занной величине. Абсурдность такого заключения сразу становит­ся очевидной, если спросить: «Почему тогда за «единицу време­ни» в 1 год Земля вовсе не падает, т. е. после совершения каждого полного оборота она начинает свое «падение» как бы с нуля?»

Эта антиномия «поясняется» следующей динамической мо­делью. Ускорение Земли при движении ее по орбите вокруг Солнца можно найти, вспомнив, что путь, пройденный при сво­бодном падении тела (падения из состояния покоя) за первую секунду, равен половине его ускорения. Например, для кирпича, начавшего падение с крыши дома на поверхность Земли из со­стояния покоя, мгновенная фотография показала бы, что его ско­рость в конце первой секунды стала равной 980 см/c. Это и есть его истинное ускорение, отнесенное к данному моменту времени, которое, как впервые определил Галилей, - для земной поверхно­сти постоянная величина. Следовательно, лишь только в первую секунду средняя скорость камня равна (980 + 0) #2 = 490 см/c (в следующие секунды она будет другой), и значит расстояние, на которое он опустится, лишь только в первую секунду равно 490 см, или половине его ускорения. Не замечая в примере с падаю­щим камнем никакого подвоха, незадачливые теоретики далее продолжают. Если бы на Землю не действовала сила притяже­ния, то за 1 с она сместилась бы по прямой, касательной к ее ор­бите, на расстояние 30 км, но в действительности Земля будет на­ходиться не на прямой, а на орбите на расстоянии Х ближе к Солнцу. Следовательно, Х - расстояние падения за одну секунду и каждое новое X «вечно падающая Земля» начинает с нулевой от­метки времени.

Проведя такого рода «обоснование динамического характе­ра», теоретики вновь возвращаются к своей излюбленной геомет­рической модели. Они строят треугольник (его можно найти в любом учебнике физики для старшеклассников), одна сторона которого - радиус орбиты 1,5-108 см, соединяющий Солнце и Землю в начальный момент «падения» планеты; вторая сторона, перпендикулярная первой, - путь длиной 30 км, который прошла бы Земля, будь она свободной от притягательной силы Солнца; гипотенуза этого треугольника - прямая, соединяющая Солнце и конец тридцатикилометрового отрезка, равная (1,5-108)2 + (30)2 = (1,5-108 + Х)2. А далее начинаются арифметические трюки. Так как квадрат гипотенузы равен (1,5-108)2 + 2- 1,5-108-Х + Х2, то X2 - на­столько малая величина по сравнению с другими величинами в указанном выражении, что ее попросту отбрасывают, как нежела­тельную помеху. После этого получают

Х = (302) #(3-108) = 3-10-8 км = 0,3 см.

Ускорение же вдвое больше, т. е. 0,6 см/c2, и аналогичный расчет в рамках указанных «рассуждений» необходимо проводить для каждой следующей секунды, рассматривая «падение» Земли из состояния покоя. В году содержится 3,2-107 с, следовательно, за год теоретикам (кому-то одному или вместе взятым) необходимо провести указанное количество расчетов. Но это еще не все. При этом они 3,2-107 раз должны «отбросить» и величину Х2.

Отвлечемся от вышеизложенного и вновь обратимся к зако­нам Кеплера. Прежде всего заметим, что они были сформулиро­ваны немецким астрономом и мыслителем более чем за полсто­летия до того, как Ньютон предложил свои законы динамики и закон всемирного тяготения. В свою очередь, работы Кеплера возникли отчасти благодаря многолетним трудам датского астро­нома Тихо Браге, подробно и весьма точно описывающим поло­жения планет относительно неподвижных звезд. Однако Ньютону удалось доказать научному сообществу, что законы Кеплера можно получить путем формального математического вывода из закона всемирного тяготения и второго закона динамики, т. е. его мысль была такова, что законы Кеплера - всего лишь тривиаль­ные следствия его онтологии. Кроме того, Ньютон показал, что из всех записей закона для распространения в пространстве грави­тационной силы полностью согласуется со всеми тремя законами Кеплера только одна - та, в которой зависимость от расстояния подчиняется закону обратных квадратов. Но о чем это говорит? Лишь о том, что Кеплер и Ньютон использовали одно и то же фазовое пространство для своих геометрических моделей, а именно: пространство евклидово-архимедовой структуры. Только в таком пространстве площадь сферы связана квадратичной зави­симостью с ее радиусом, следовательно, закон всемирного тяготе­ния, связывающий точки расширяющейся сферы с ее центром, может быть также записан в квадратичной форме, предложенной Ньютоном:

гг п mM

F = G^2 где m и M - массы двух взаимодействующих

тел, R - метрическое расстояние между ними, G - так называемая гравитационная постоянная, которая может быть измерена и, по гипотезе Ньютона, она для всех тел и расстояний должна иметь одно и то же численное значение. Последнее предположение - самое слабое место ньютоновой теории тяготения, так как изме­рение G далее ограниченных лабораторных условий распростра­нить нельзя.

Сила (точнее, напряженность поля сил), действующая между двумя телами обычных размеров, которые расположены на не­большом расстоянии друг от друга, впервые была измерена в 1798 г. Г. Кэвендишем - через сто лет после того, как Ньютон опубли­ковал свой закон. Поскольку Кэвендиш мог с хорошей точностью и независимо измерить величины F, m, M и R, ему удалось рас­считать величину G при данных начальных и граничных условиях. В настоящее время принято считать, что эта величина равна

G ~ 6,67-10-11 Н-м2/кг2.

Размерность этой экспериментально установленной величи­ны равна L3T-2M-1, т. е. она отличается от размерности предела K вхождением в нее массы.

Теперь рассмотрим вывод третьего закона Кеплера, по Нью­тону, т. е. как следствие его закона всемирного тяготения. В осно­вание вывода, прежде всего, должно быть введено следующее гра­ничное условие: тело под действием гравитационной силы дви­жется по круговой траектории, ибо в противном случае нельзя применить формулу Гюйгенса для центростремительного уско­рения, и Ньютон, по-видимому, такую упрощающую идеализа­цию предусматривал. После этого в значение средней силы, вы­ражаемой вторым законом динамики: F = ma, можно формально ввести значение среднего радиального ускорения: a = v2/R. В ре­зультате таких подстановок формула Ньютона приобретает сле­дующий вид

M v2

GmigRT = muR

Здесь m1g в левой части выражения - масса данной планеты, которая, взаимодействуя с Солнцем, создает центростремительную силу притяжения, m1i в правой части - масса этой же планеты, ко­торая, вращаясь по окружности соответствующего радиуса, создает центробежную силу отталкивания, R - расстояние от центра пла-

117

неты до центра Солнца, v1 - средняя линейная скорость движения планеты по орбите, M - масса Солнца, гравитационное действие которого удерживает планету на орбите, сохраняя в каждое сле­дующее мгновение ее расстояние R до светила. Итак, у планеты должно быть две массы - гравитационная (mg) и инертная (mi), и левая часть уравнения характеризует силу притяжения, под дейст­вием которой планета падает на Солнце, а правая его часть - цен­тробежную силу отталкивания, под действием которой планета отдаляется от Солнца. Эти силы возникают каждое следующее друг за другом мгновение, действуют на каждую частицу планеты одновременно, и, следовательно, согласно третьему закону Ньюто­на, их сумма всегда остается равной нулю. Поэтому планета остает­ся в равновесии. Эту же физическую ситуацию описывает и третий закон Кеплера, основываясь лишь на пространственных и времен­ных параметрах космического инерциального движения. Другими словами, формула третьего закона Кеплера и уравнение Ньютона описывают инерциальное состояние системы планета - Солнце, и в этом смысле они тождественны.

Таким образом, дополнительным условием для логической корректности соотношения Ньютона выступают: во-первых, на­личие у планеты двух масс - гравитационной и инертной; во- вторых, одновременность взаимодействия сил инерции и сил гра­витации; в третьих, аналитический (векторный) характер записи формулы Гюйгенса. Значит, уравнение Ньютона логически со­стоятельно тогда и только тогда, когда оно репрезентирует пол­ностью обратимый характер взаимодействия планет с Солнцем. Но в таком случае первичным по отношению к формуле Ньютона выступает именно третий закон Кеплера, ибо он описывает рав­новесное состояние космической системы вне апелляции к како­му бы то ни было взаимодействию планет с Солнцем (вспомним, что в формулу Кеплера не входят массы планет). Что же касается закона всемирного тяготения Ньютона, то он основывается на идее силового взаимодействия (вспомним, что, по Ньютону, рав­новесное состояние материального тела - отсутствие взаимодей­ствия, в результате чего оно находиться в покое или движется равномерно и прямолинейно). Значит, именно закон равновесия Кеплера наводит порядок «на небе», но отнюдь не закон тяготе­ния Ньютона: последний просто вынужден подчиниться первому в силу неоспоримой логической состоятельности закона Кеплера.

Поскольку мы доказали, что орбитальное движение планет в основе своей инерциальное (иначе говоря, мы доказали то, что сообщил нам Галилей в «Диалоге» более трех веков назад, апел­лируя лишь к здравому уму), то истинная скорость планет может быть выражена через отношение длины траектории 2nRt к пе­риоду T1, т. е. к времени, в течение которого данная планета со­вершает один оборот вокруг Солнца. Итак, подставляя выраже­ние для v1 в предыдущее соотношение, находим

Далее, выполнив элементарные преобразования, получим

Этот результат получен для планеты 1 (например, Марса), но аналогичный вывод применим и для любой другой планеты n (например, Юпитера), ибо правая часть последнего соотношения - предел Кеплера, который был вычислен немецким астрономом задолго до Ньютона. Не будь эта постоянная известна английско­му натурфилософу - противнику «измышления гипотез», неиз­вестно, как бы сложилась его онтология, следуя которой он сформулировал свой закон всемирного тяготения. Однако это еще не все. Мы видим, что формула Гюйгенса действительно опи­сывает инерциальное круговое движение, ибо в этом случае сред­няя скорость движения не отличается от истинной скорости, и ма­тематическая идея датского физика превращается в физическую реальность.

Далее, получаем:

Здесь mng и mni - гравитационная и инертная массы данной планеты.

Мы вновь пришли к третьему закону Кеплера, но при этом приобрели много дополнительных знаний. Прежде всего, мы ус­тановили, что планеты, следующие в своем движении вокруг Солнца законам Кеплера, вовсе не должны быть материальными точками, но это материальные тела, обладающие массой, распре­деленной в пространстве (объеме). Далее мы установили: для то­го, чтобы тело, обладающее массой и размерами, могло двигаться под действием центральных сил инерциально, у него должно быть две массы - инерциальная и гравитационная. При этом, однако, возникает вопрос: каково должно быть соотношение mng@mni для каждой планеты, чтобы данное космическое тело находилось в равновесии с центральным гравитационным телом? Как очевид­но, при соблюдении равновесия это соотношение должно быть таким, чтобы произведение величин, входящих в левую часть ука­занного выше соотношения, в точности равнялось пределу K. В противном случае планеты будут испытывать действие некомпен­сированных сил: в одном случае, когда гравитационная сила будет больше центробежной, планеты будут падать на Солнце; в дру­гом, когда инертные силы превысят гравитационные, планеты будут удаляться от Солнца. Если бы инертная и гравитационная массы тел (в частности, планет) были в точности равны, как это утверждает релятивистская теория гравитации, то опыт Кэвен- диша был бы невозможен, а тела, поднятые над поверхностью Земли, висели бы над ней неподвижно, как облака в безветрен­ную погоду. Благодаря переменному соотношению инертной и гравитационной масс, неподвижные тяжелые тела падают на Землю, а легкие (например, облака пара и некоторые газы) уст­ремляются вверх. За это, как оказывается, ответственна не только разность плотностей нижних и верхних слоев атмосферы, а точ­нее, разность плотностей возникает из-за различий в соотноше­нии тяжелой и инертной масс воздушных потоков.

В качестве иллюстрации приведем значение числа Кеплера для планет, рассчитанное по формуле его третьего закона, по Джанколи.

Параметры движения планет, используемые в третьем зако­не Кеплера

Как известно, точные измерения орбит планет показывают, что для них не вполне выполняются законы Кеплера: наблюдают­ся отклонения от идеальных эллиптических орбит, а также реги­стрируются неравномерности в движении планет вдоль самой орбиты. Сказывается это и на значении числа Кеплера, который характеризует именно инерциальное космическое движение планет в солнечной системе. Так, например, из табл. 1 видно, что наи­большим возмущениям подвержен Меркурий (самая близкая к Солнцу планета), а также Нептун и Плутон - самые далекие от солнца планеты. Эти факты свидетельствуют о том, что движение планет следует считать инерциальным лишь в математическом приближении: на их инерциальные движения накладываются различного рода возмущения, и величина возмущений может быть более или менее значительной. Ньютон также понимал, что этого следует ожидать, так как, согласно его закону всемирного тяготения, «каждое тело во Вселенной притягивает любое другое тело». Несомненно, это слишком радикальная гипотеза, но если это представление распространить только на пределы Солнечной системы, то вполне разумно предположить, что каждая планета в какой-то степени действует своим гравитационным полем на дру­гие планеты, и это влияние взаимно.

И, наконец, полный ответ на вопрос: почему пространство трехмерно и время двухмерно? - отвечает формула пространства и времени Кеплера:

R3=V

T2

в которой понятие размерности включается непосредственно в факт космического равновесия. В данном физическом законе вид­но, что трехмерность пространства и двухмерность времени вы­ступают как начальные и граничные условия этого фундамен­тального факта, который не может быть сведен к более глубоким положениям.

УДК 115

© Ю.П.Шардин, 2008