Анализ

Определение числа измерений обобщённого объекта может быть выполнено следующим образом.

Сопоставление объекта с собою, приведение в соответствие элемента А с элементом А, его отображение в себя может быть реализовано большим числом дискретных движений и, в общем случае, не однозначно.

n-мерная аффинная протяжённость, содержащая в себе совокупность (п+1) точечных элементов, отображается на себя линейным преобразованием: v- _ у1 я y

— L , k=l

= U ? оператором преобразования является матрица U (ajk)

Если в m-мерной протяжённости ввести однородные координаты, с помощью равенства хк = ?к/ то проективное преобразование переведёт бесконечно удалённые точки в конечные.

Унитарное преобразование, для которого Xa*ikaki =Xaika*n = 8kI при всех действительных ajk является ортогональным преобразованием, которое оставляет инвариантной форму Хх'.х., а так же Хх2., следовательно, det (a.k) = ±1.

Действительное ортогональное преобразование с положительным определителем det (aik) = +1 представляет собой вращение на угол 8. При 8 = 71 имеет место отражение, при 8 = 2л: - тождественное преобразование. Действительное ортогональное преобразование с отрицательным определителем det (aik) = -1 представля-

ет собой инверсионный поворот, а преобразование относительно плоскости, перпендикулярной к вектору, зеркальный поворот. Кроме этого, могут иметь место неоднородные преобразования, трансляции ? = ^ и комбинации однородных и неоднородных преоб- ^ разований - винтовые движения и скользящие отражения.

* Тождество объекта А = А может рассматриваться как действительное ортогональное преобразование, соответствующее повороту 8 = 271, или как сумма двух движений, отображение оператора FA = -А, соответствующее повороту 8 = 7Г, преобразующее А в его отрицательную форму, и отображение F-1, соответствующее обратному повороту 8 = -71 , дающее отрицание отрицания A, F_1 (-А) = F-1F (А) = А, следовательно F_1F = FF1 = 1.

Первая форма отрицания А, первая форма существования не-А, вытекающая из тождества А = А, есть зеркальный образ А, который обозначен символом -А. Вторая форма отрицания А, также вытекающая из тождества объекта с собой, есть отображение, создающее образ обратный А, то есть 1/А. Это отображение является инверсией J.

JA = 1/А = А1, = J2 = Е = 1 отсюда JA+1 -JA"1 = A+1 -А"1 = 1 на самом деле А = А, А/А = А-1/А = А+1-А-1 = А0 = 1 Преобразование, создаваемое совместным действием операторов F и J является зеркальной инверсией FJA = -1/А = -А-1

Таким образом, имманентный объект х содержит в себе четыре действительно явные формы существование, явные формы своей протяжённости, порождённые операторами Е, F, J, FJ . Все четыре формы это он сам. А -А 1/А -1/А

Аналитическая форма отображения объекта в себя адекватна логической форме отрицания и единства.

Исследуемая совокупность является всеобъемлющей, ничем не ограниченной и потому единственной, она целиком отражена в себе самой. Протяжённости её существования являются проективными образованиями, между ними имеет место взаимное соответствие.

Единичный элемент, определяемый оператором J, является проективной мерой, дающей калибровку и метризуемость проективной плоскости. Единичный элемент является инвариантом преобразования и мерой, определяющей относительные расстояния в протяжённости как положительные числа. Эта метрическая про- тяжённость совпадает целиком со всей проективной протяжённостью, следовательно, по теореме Гамеля, она является замкнутой.

На самом деле, если совокупность уникальна и целиком отражена в себе, то любой элемент конечного точечного многообразия имеет свой противоположный образ, протяжённость не имеющая чту внешних границ замкнута. *

На протяжённость объекта А, не были наложены никакие связи, ограничения, поэтому образования, которые появились как отображения являются вполне симметричными.

Образования, которые создаются совместно операторами F и J со-ставляют класс циклид, фокальные поверхности которых суть огибающие поверхности семейства шаров переменного радиуса, центры которых лежат на круге, т. е. поверхности каналов Дюпена.

Тождественное преобразование F является многократно однозначным, а отображение J , вследствие конечности и замкнутости образования, является взаимно неоднозначным: предельно удалённая точка является собственной, внутренней точкой протяжённости, лежащей на большом круге и делящей окружность на две дуги, одновременно являющихся отрезками.

Инверсия на сфере является конформным отображением, сохра-няющим сферы, при этом, из-за конечности отрезков на большом круге, непрерывное отображение оставляет непокрытой окрестность центра единичного круга. Предельно удалённая сфера и тор являются топологически неприводимыми образованиями лишь в частном случае их размерности, при плоском преобразовании.

Метрическая функция этих образований, являющихся радиальными симметриями циклид, следующая:

Fn = TV = Sn+1 = (2тгп/2)/Г (n/2)-rn, где TV - объем гипертора, Sn+1 - поверхность гиперсферы, п - число измерений конструкта.

10 — 799