Задача 3

3.1-3.20 Даны координаты точек А1 ,A2 ,А3 ,A4

Найти длину ребра А1 А2. Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А 4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3 . Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4

N	Координаты точек
Вар	A1	A2	A3	A4
2.1	(1;0;2)	(2;1;1)	(-1;2;0)	(-2;-1;-1)
2.2	(-1;2;1)	(1;0;2)	(2;-1;3)	(1;1;0)
2.3	(2;1;1)	(-1;2;-1)	(1;0;-2)	(3;-1;2)
2.4	(-1;2;0)	(1;0;-2)	(3;1;1)	(2;-1;-1)
2.5	(2;0;1)	(1;3;-1)	(-1;2;0)	(2;-2;1)
2.6	(1;2;-3)	(2;1;1)	(3;0;2)	(0;-1;3)
2.7	(1;-2;3)	(3;1;2)	(-1;0;-3)	(2;-1;1)
2.8	(2;0;3)	(-1;3;2)	(3;2;0)	(-2;1;1)
2.9	(-2;1;-3)	(3;-1;0)	(2;3;1)	(1;2;2)
2.10	(2;2;1)	(`1;1;3)	(-2;0;-1)	(0;-1;2)
2.11	(1;2;5)	(0;7;2)	(0;2;7)	(1;5;0)
2.12	(4;4;10)	(4;10;2)	(2;8;4)	(9;6;4)
2.13	(4;6;5)	(6;9;4)	(2;10;10)	(7;5;9)
2.14	(3;5;4)	(8;7;4)	(5;10;4)	(4;7;8)
2.15	(10;6;6)	(-2;8;2)	(6;8;9)	(7;10;3)
2.16	(1;8;2)	(5;2;6)	(5;7;4)	(4;10;9)
2.17	(6;6;5)	(4;9;5)	(4;6;11)	(6;9;3)
2.18	(7;2;2)	(5;7;7)	(5;3;1)	(2;3;7)
2.19	(8;6;4)	(10;5;5)	(5;6;8)	(8;10;7)
2.20	(7;7;3)	(6;5;8)	(3;5;8)	(8;4;1)

5.1 Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве. Для решения задачи следует использовать следующие сведения

1.) Каноническое уравнение прямой

L: (1)

M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой L .

l, m, n – проекции направляющего вектора прямой L на оси Ox, Oy, Oz соответственно. Хотя бы одно из чисел l, m, n отлично от нуля.

2). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1 ,y1 , z1 ) и M2 (x2 ,y2 , z2),

(2)

где (x 1,y 1 ,z 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ,z 2) - координаты другой точки на прямой, (x,y,z) - координаты любой точки на прямой.

3.) Параметрическое уравнение прямой

(3)

M0 (x0;y0;z0) - любая точка на прямой, l, m, n – проекции направляющего вектора прямой, t – параметр, изменяя который можно получить все точки прямой.

4.) Условие параллельности прямых Рассмотрим две прямые

L1:

L2 : , если прямая L1 параллельна L2 , то выполняется условие :

(4)

5.) Условие перпендикулярности прямых

l 1 l2 + m1 m 2 +n1 n2 =0 (5)

6). Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D = 0 , (6)

где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в уравнении (1) – это проекции вектора, перпендикулярного плоскости.

7.) Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M0 (x0,y0,z0), M1 (x1,y1,z1), M2 (x2,y2,z2)

(7) или

(x-x0) ((y1-y0)(z2-z0)-(y2-y0)(z1-z0)) – (y-y0) ((x1-x0)(z2-z0)-(x2-x0)(z1-z0))+

+(z-z0) ((x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0))=0

8).

Условие параллельности плоскостей Рассмотрим две плоскости

Р1: A1 x+B1 y+C1 z+D1=0

Р2:A2x+B2y+C2z+D2=0, если плоскость Р1 параллельна Р2, то выполняется условие :

(8)

9.) Условие перпендикулярности плоскостей

A1 A2 + B1B 2 + C1 С2 =0 (9)

10.а) угол между плоскостями

A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 и A2 x+B2 y+C2 z+D2=0

(10.а)

10.б) угол между векторами

(10.б)

10.в) угол между прямой и плоскостью

прямая L с направляющими коэффициентами (l, m, n) и плоскость Ax+By+Cz+D=0

(10.в)

11.) Расстояние между двумя точками

Даны точки А1 (x1,y1,z1) и А2 (x2,y2,z2), расстояние между ними:

(11)

12.) Расстояние от точки M0 (x0,y0,z0) до плоскости

A x+B y+C z+D=0 :

(12)

13.) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей , если , , то

(13)

Первая строка определителя состоит из координатных ортов, вторая из проекций первого сомножителя, третья из проекций второго сомножителя.

14.) Объем параллелепипеда, построенного на векторах

, ,

(14)

знак выбирается таким образом, чтобы объем был положительный.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул. Задача 3.

Даны точки А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .

3.а.) Найти длину ребра А1 А2.

Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.

Длина ребра А1 А2 равна 3 .

3.б.) Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3.

Составим уравнение прямой проходящей через точки

А 1 (1,-1,-2) и А 4 (0,1,1), воспользуемся формулой (2)

;

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),

Воспользуемся формулой (7)

уравнение грани 6x-8y+5z-4=0, ребра

3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки

А 4 (0,1,1) на плоскость А1А2А3.

Высота проходит через точку А 4 (0,1,1) и перпендикулярна плоскости 6x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. (2) , то уравнение искомой высоты.

или в параметрической форме (3)

x=6t, y=1-8t, z=1+5t

3.г.) Найти площадь треугольника А1A2A3 с вершинами

А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),

Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)