ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Напомним, что дифференцирование – это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или дифференциал. Например, если , то

Как мы знаем, нахождение производной имеет большое практическое значение.

Так, по данному закону движения тела

дифференцирования находили скорость

, а затем и ускорение

по данному уравнению кривой

определяли угловой коэффициент касательной, проведенной к этой кривой:

На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной скорости движения тела устанавливать закон его движения, по данному угловому коэффициенту касательной к кривой находить уравнение этой кривой и т.п., иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действие, обратное дифференцированию. Это действие называется интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. Например, если , то , так как .

Дифференцируемая функция , называется первообразной для функции на интервале , если = для каждого .

Так, для функции первообразной служит функция , поскольку .

Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.

Справедлива теорема: если - первообразная для на некотором промежутке, то и функция +С, где С – любая постоянная, также является первообразной для функции на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для в данном промежутке, может быть записана в виде +С.

Значит, достаточно найти для данной функции только одну первообразную функцию , чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга только на постоянную величину.

Совокупность +С всех первообразных функций на интервале называют неопределенным интегралом от функции на этом интервале и пишут . Здесь - подынтегральное выражение; - подынтегральная функция; х переменная интегрирования; С – произвольная постоянная.

Например, , так как .

Если функция имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке. Можно доказать, что любая функция, непрерывная на отрезке , интегрируема на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы):

Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что , следует равенство

Таблица основных интегралов:

10.

11. 8

Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование.

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1: найти интеграл

Решение:

Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 2: найти интеграл

Решение:

Воспользуемся определением степени с дробным показателем найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 3: найти интеграл .

Решение:

Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 4: найти интеграл

Решение:

Воспользуемся определением степени с дробным показателем , правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями , правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно.

Имеем

Заметим, что произвольные постоянные, входящие по определению в каждый из слагаемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.

Пример 5: найти интеграл

Решение:

Раскроем скобки по формуле и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:

Пример 6: найти интеграл

Решение:

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределенного интеграла:

Интегрирование методом подстановки

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1. часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2. найти дифференциал от обеих частей замены;

3. все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4. найти полученный табличный интеграл;

5. сделать обратную замену.

Пример 7: найти интеграл .