Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве.
= a2
, t > 0 , x
R , u(x,t)|t=+0 = 
(x) , 
|t=+0 = 
(x) ( 7 )
Здесь даны начальные, но нет граничных условий.
Задано значение функции и её производной в каждой точке оси Ох в начальный момент. Коэффициенты а11 = 1, а12 = 0, а22 = - а2 приводят к характеристическому уравнению
2 = a2 и новым переменным p = x – at , q = x + at ( 8 )
В этом случае 
= 
; 
( 9 )
= 
; 
( 10 )
Подставим ( 9 ) , ( 10 ) в уравнение ( 7 ) и получим 
( 11 )
Уравнение ( 11 ) запишем в виде 
или 
, т.е. 
не зависит от q , а 
не зависит от p . Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения в свободном пространстве имеет вид
u(p,q) = F1(p) + F2(q) = F1(x – at) + F2(x + at) ( 12 )
где F1(p) и F2(q) - произвольные функции.
Это общее решение Д’Аламбера описывает две встречные плоские волны. Действительно, значение F1(p) сохраняется при x – at = const , но время t меняется непрерывно и, следовательно, должна также непрерывно меняться координата х со скоростью а . Происходит движение фронта плоской волны. В F2(q) скорость - а .Конкретный вид функций F1(p) , F2(q) в каждом частном решении определяется начальными условиями
|t=0 =
= 
Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х и выпишем второе условие ( 7 )
F1(x) - F2(x) = - 
+ 2C ; F1(x) + F2(x) = j(x)
Решение этой системы
F1(x) = ½ j(x) - 
+ 2C , F2(x) = ½ j(x) + - C
Для перехода от u(x,0) к u(x,t) заменим х на x – at в F1(x) и х на x + at в F2(x), т.е. сформированные вдоль оси Ох в начальный момент распределения F1(x), F2(x) начнут перемещаться в пространстве со скоростью а и –а . Решение Д’Аламбера задачи Коши в общем случае
u(x,t) = ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a [ 
+ 
] =
= ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a 
( 13 )
Пр. Найти форму струны, определяемой уравнением = a2
в момент t = p/2a , если u|t = 0 = sin x , |t = 0 = 1.
Решение. Имеем u(x,t) = ½ [ sin (x + at) + sin (x – at) ] + 1/2a 
= sin x cos at + t
Если t = p/2a , то u(x) = 
/ 2a , т.е. струна параллельна оси абсцисс.