Градиент скалярного поля.

Структура выражения ( 23 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов a и b : a b = axbx + ayby + azbz , если величины U/x, U/y, U/z понимать как координаты некоторого вектора.

grad U = i + j + k ( 24 )

Он упрощает запись производной с.п. по направлению и является важнейшей характеристикой скалярного поля

U/l = grad U l ( 25 )

Опр. Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля на вектор направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление.

Определим угол между векторами grad U и l

cos = = U/l = |grad U| cos

Повернем вектор l в сторону вектора grad U .

Опр. Вектор grad U определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке М и его модуль равен скорости этого изменения.

Опр. grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U(x,y,z) = C , проходящей через точку М .

Это следует из общего уравнения касательной плоскости к поверхности U(x,y,z) = =C в точке M0(x0, y0, z0)

(U/x)|M (x – x0) + (U/y)|M (y – y0) + (U/z)|M(z – z0) = 0

где нормальный вектор касательной плоскости определен в виде N = {,,} , т.е. совпадает с вектором grad U

Пр. Дано с.п. U(M) = xy2 + z2. Найти наибольшее значение U/l в точке M(2;1;-1)

Решение:

grad U = y2 i + 2xy j +2z k , grad U|M = i + 4j – 2k , U/l|наиб = |grad U|M = ==

Для обозначения grad U также применяется дифференциальный оператор. Он наз. оператором Гамильтона или набла-опрератором

i + j +k grad U = U