Градиентом скалярного поля U(x,y,z)

наз. вектор grad U = i + j + k ( 10 )

который определяет направление наибольшего изменения с.п.

Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля и вектора направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление

U/ = grad U = |grad U|l ( 11 )

Пример 4.Дано с.п.U(M) = xy2 + z2. Найти наибольшее значение U/в т.M(2;1;-1)

Решение: grad U|M = (y2 i + 2xy j + 2z k )|M = i + 4j – 2k,

U/|наиб = |grad U|M = =

Задачи для самостоятельного решения

Найти grad u и в направлении :

1) = - i + 4 j + 2 k, если u = sin2(2yz – 3x); 2) = 2i + 4 j - 5 k, если u = ctg2(2x2 – 9yz)

3) = i + 3 j + 2 k, если u = ln tg (2xy – z); 4) = -2i + 4 j + k, если u = ln sin (yx + 9z2)