Производная по направлению с.п.
Имеем с.п. функции U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором l = {cos 
, cos 
, cos
}.
Опр. Производной с.п. U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению l наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению l
lim [U(M1) – U(M_] / |MM1| = 
U / l ( 22 )
M 
M1
Теорема. Если функция с.п.U(x,y,z) дифференцируема в 
и l = {cos , cos , cos}, то
U/l = (U/x) cos + (U/y) cos + (U/z) cos ( 23 )
Док-во.
Отрезок |MM1| =
есть диагональ прямоугольного паралепипеда со сторонами 
x, y, z. Он равен = 
. Координаты точки М1 можно записать в виде M1(x+x, y+y, z+z) = M1(x + cos , y + cos , z + cos). По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде
+
=
+
где lim 
= 0 при 0.
U/l = lim 
и получим формулу ( 23 ).
Пр. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении a = 2i – 4j + k .
U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5 , U/y|M = x2|M = 1 , U/z|M = -3xz2|M = -3,
|a| = 
, U/a = -5 2/ + 1 (-4)/ -3 1/ = -17/
Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.