Скалярное поле
Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз.
функцией поля.Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(M) = U(x,y) =C и поверхности уровня в пространстве U(M) = U(x,y,z) = C.
Опр. Производной скалярного поля U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению 
= {cos
, cos
, cos
}, наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению , который приводит к формуле
U/ = (U/x) cos + (U/y) cos + (U/z) cos ( 9 )
Пример 3. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении 
= 2i – 4j + k .
Решение.U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5,U/y|M = x2|M = 1,U/z|M = -3xz2|M = -3,
|| = 
, cos = x/|| = 2/ , cos = y/|| = -4/, cos = z/|| = 1/,
U/ = -5 2/ + 1 (-4)/ -3 1/ = -17/
Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.