<<
>>

4.СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ

п/п

Раздел Виды занятий
Лекции (час.) Практические занятия (час.) Самостоятельная работа (час)
1 Введение 2 1 5
2 Элементы векторной алгебры 2 2 25
3 Аналитическая геометрия 2 2 30
4 Элементы линейной алгебры 2 2 30
5 Элементы высшей алгебры 2 2 25
6 Элементы топологии 2 0 15
7 Введение в математический анализ 2 2 25
8 Дифференциальное исчисление функции одной переменной 2 3 40
9 Неопределенный и определенный интеграл 2 3 40
10 Функции нескольких переменных, кратные интегралы 2 2 30
11 Дискретный анализ 2 1 15
12 Обыкновенные дифференциальные уравнения 2 2 30
13 Ряды 2 2 30
14 Ряды Фурье. Преобразование Фурье 2 2 15
15 Элементы теории функций комплексного переменного 2 0 15
16 Криволинейные и поверхностные интегралы 2 1 25
17 Элементы теории поля 2 1 15
18 Теория вероятностей 2 4 30
19 Модели случайных процессов 2 0 15
20 Математическая статистика 2 4 30

4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ

4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

I семестр

Раздел 1. Введение

1.1. Предмет математики, ее роль и место в современной науке и технике. Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление.

1.2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Раздел 2. Элементы векторной алгебры

2.1. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис. Система координат.

2.2. Линейные операции над векторами в координатах.

2.3. Скалярное произведение в трехмерном пространстве и его свойства. Длина вектора. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведение.

Раздел 3. Аналитическая геометрия

3.1. Уравнение линии на плоскости.

3.2. Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой: по точке и направляющему вектору; по двум точкам; точке и угловому коэффициенту; в отрезках. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи.

3.3.Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

3.4.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения, эксцентриситет, фокусы, асимптоты, директрисы.

3.5.Полярные координаты на плоскости, их связь с декартовыми координатами. Уравнение линии в полярной системе координат.

3.6.Уравнение поверхности в пространстве.

3.7.Уравнение плоскости. Различные виды уравнения плоскости: по трем точкам; по двум точкам и вектору коллинеарному плоскости; точке и двум векторам коллинеарным плоскости; по точке и нормальному вектору; общее уравнение, плоскости. Частные случаи.

3.8. Уравнения линии в пространстве.

3.9. Уравнения прямой в пространстве. Различные виды уравнений прямой: по точке и направляющему вектору; двум точкам; общие уравнения прямой.

3.10 Угол между плоскостями; угол между прямыми; угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

3.11.Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоид, параболоид. Цилиндрические поверхности.

3.12.Цилиндрические и сферические координаты, их связь с декартовыми координатами.

Раздел 4. Элементы линейной алгебры

4.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами: умножение матриц на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.

4.2. Определители п-го порядка, их свойства и вычисление. Алгебраические дополнения и миноры.

4.3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

4.4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Теорема о базисном миноре. Понятие о решении произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

4.5. Решение произвольных систем линейных уравнений методом Гаусса. Процедура нахождения обратной матрицы методом Гаусса.

4.6. Линейное векторное пространство. Линейные преобразования, их матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

4.7. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка.

Раздел 5. Элементы высшей алгебры

5.1. Понятие множества. Операции над множествами. Декартово (прямое) произведение множеств. Алгебра множеств.

5.2. Отношения на множествах. Бинарные отношения, способы задания. Отображения множеств. Понятие функции. Отношения эквивалентности, порядка, доминирования.

5.3. Конечные и бесконечные множества. Счетные множества. Понятие мощности множества. Эквивалентность множеств. Разбиение на классы.

5.4. Понятия о некоторых алгебраических структурах: группа, кольцо, поле. Понятие изоморфизма.

5.5. Поле комплексных чисел. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.

5.6. Алгебраические операции над комплексными таблицы числами. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.

5.7. Формулировка основной теоремы алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Раздел 6. Элементы топологии

6.1. Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств. Непрерывные отображения метрических пространств.

6.2. Сходимость в метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Полные пространства. Понятие о принципе сжатых отображений.

6.3. Определение и примеры топологических пространств. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Понятие о компактности.

Раздел 7. Введение в математический анализ

7.1. Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральный логарифм.

7.2. Предел функции в точке, односторонние пределы. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые функции и их свойства. Основные теоремы о пределах.

7.3. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнения бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

7.4. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность суммы, произведения, частного и суперпозиции непрерывных функций.

7.5. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

7.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточного значения.

Раздел 8. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

8.1. Производная функции ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, произведения и частного.

8.2. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

8.3. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

8.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

8.5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

8.6. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций ех, sinx, cosx, 1n(1+x), (1+x)n по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям.

8.7. Монотонные функции. Теоремы о возрастании и убывании функции на интервале.

8.8.Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

8.9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

8.10. Асимптоты кривых: вертикальные и наклонные.

8.11. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

8.12. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и физический смысл.

8.13. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

8.14. Кривизна плоской кривой. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Понятие о формулах Френе.

8.15. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Метрика на поверхности. Кривая. Натуральная параметризация кривой. Понятия о геодезической линии.

II семестр

Раздел 9. Неопределенный и определенный интеграл.

9.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирования подстановкой (замена переменной) и по частям.

9.2. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.

9.3. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.

9.4. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.

9.5. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.

9.6. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

9.7. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой.

9.8. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

9.9. Несобственные интегралы.

9.10. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов и тел площадей поверхностей вращения.

Раздел 10. Функции нескольких переменных, кратные интегралы.

10.1. Функции нескольких переменных; область определения, способы задания. Предел функции в точке. Непрерывность.

10.2. Частные приращения и частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

10.3. Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

10.4. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

10.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования.

10.6. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия. Формулировка достаточных условий.

10.7. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

10.8. Производная по направлению и градиент; их связь. Геометрический и физический смысл градиента.

10.9. Кратные интегралы: задачи, приводящие к ним. Двойные и тройные интегралы; их свойства, вычисление в декартовых координатах.

10.10. Замена переменных в кратных интегралах: переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим.

10.11. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

Раздел 11. Дискретный анализ

11.1. Элементы комбинаторики. Конечные множества и операции над ними. Подмножества данного множества. Подмножества данного множества. Число подмножества данного множества (сочетания). Упорядоченные множества. Перестановки и размещения. Бином Ньютона и полиномиальная формула.

11.2. Предмет логики высказываний. Логические операции над высказываниями. Понятия формулы алгебры высказываний. Равносильность и классификация формул. Логические эквивалентности.

11.3. Булевы функции. Существенные и фиктивные переменные. Логические отношения. Проверка правильности рассуждений.

11.4. Алгебра предикатов. Кванторы.

11.5. Орграфы. Основные определения. Матрицы орграфов.

11.6. Неориентированные графы. Основные определения. Матрицы графов.

III семестр

Раздел 12. Обыкновенные дифференциальные уравнения

12.1.Задачи, сводящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия и определения). Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка вероятностей. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства). Понятие об общем, частном и особом решениях дифференциальных уравнений.

12.2. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах.

12.3. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.

12.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

12.5. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Система фундаментальных решений. Общее решение. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

12.6. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема о структуре общего решения. Метод Лагранжа вариации производных постоянных. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Раздел 13. Ряды

13.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия со сходящимися рядами.

13.2. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки: сравнения, Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

13.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости, Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

13.4. Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Теорема сходимости Чебышева. Теорема. Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

13.5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов.

13.6. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.

13.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Раздел 14. Ряды Фурье. Преобразование Фурье

14.1. Измеримые множества и измеримые функции. Интеграл Лебега. Пространства суммируемых функций. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система ортогональных функций. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в точке. Условие равномерной сходимости.

14.2. Ряды Фурье для функций с произвольным периодом. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

14.3. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение.

Раздел 15. Элементы теории функций комплексного переменного

15.1. Функции комплексного переменного. Важнейшие элементарные функции комплексного переменного.

15.2. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Дифференцируемость элементарных функций. Аналитические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

15.3. Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

15.4. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функций, их классификация.

15.5. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Раздел 16. Криволинейные и поверхностные интегралы

16.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Геометрические и физические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.

16.2. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.

Раздел 17. Элементы теории поля

17.1 Скалярное и векторное поля. Физические примеры.

17.2. Ориентированные и неориентированные поверхности. Поток векторного поля через ориентированную поверхность; его свойства и физический смысл. Формула Остроградского-Гаусса.

17.3. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные поля.

17.4. Криволинейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его свойства и физический смысл.

Вычисление ротора в декартовых координатах.

17.5. Потенциальное поле, условия потенциальности. Определение потенциала векторного поля

17.6. Оператор Гамильтона. Запись градиента, дивергенции и ротора векторного поля с помощью оператора Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие об уравнении Лапласа и гармонической функции.

IV семестр

Раздел 18. Теория вероятностей

18.1. Предмет теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Частота. Геометрическая вероятность.

18.2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность суммы и произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса.

18.3. Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

18.4. Числовые характеристики случайных дискретных величин. Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение, основные свойства и вычисление.

18.5. Закон распределения, вероятностей (плотность вероятностей) случайной непрерывной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной непрерывной величины; их вычисление и свойства.

18.6. Равномерное, показательное и нормальное распределения. Их числовые характеристики.

18.7. Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность ее отклонения от математического ожидания. Правило «трех сигм».

18.8. Система двух случайных величин. Условные законы распределения. Условные математические ожидания.

18.9. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Линейная корреляция, линейная регрессия.

18.10. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева.

18.11. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства. Центральная предельная теорема Ляпунова.

18.12. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

Раздел 19. Модели случайных процессов

19.1. Понятие о случайном процессе. Классификация случайных процессов. Примеры процессов.

19.2. Потоки событий, их свойства и классификация. Простейший поток. Потоки Эрланга. Предельная теорема для суммарного потока.

19.3. Цепи Маркова. Определение случайного марковского процесса. Граф состояний. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. Процесс гибели, и размножения.

19.4. Системы массового обслуживания и их классификация. Основные понятия: поток, очередь, канал обслуживания. Показатели эффективности систем массового обслуживания.

19.5. Марковские системы массового обслуживания. Задача Эрланга. Размеченный граф состояний. Определение основных характеристик обслуживания. Условие существования предельного распределения вероятностей состояний. Формула Литтла.

Раздел 20. Математическая статистика

20.1. Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности данных. Репрезентативность выборки. Статистическое распределение выборки. Варианты. Частоты. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.

20.2. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки: несмещенные, эффективные и состоятельные. Генеральная и выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная и выборочная дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

20.3. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал. Надежность. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном среднеквадратических отклонениях. Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения.

20.4. Метод наибольшего правдоподобия. Функция правдоподобия. Оценка наибольшего правдоподобия. Уравнение правдоподобия.

20.5. Элементы корреляционного анализа. Выборочный коэффициент корреляции; его интервальные оценки. Основные свойства регрессии. Уравнения линейной регрессии. Нахождение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов. Оценка тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения.

20.6. Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Проверка гипотезы о законе распределения. Распределения: χ2, Стьюдента и Фишера. Критерий согласия Пирсона (χ2).

4.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Тема Час.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. 1
Действия с векторами. 2
Прямая на плоскости. Кривые второго порядка. Плоскость и прямая в пространстве. 2
Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным способом. 2
Действия с комплексными числами. 2
Вычисление пределов. Непрерывность функции в точке. 2
Вычисление производных функций. Дифференциал функции и его применение. 3
Вычисление неопределенных и определенных интегралов. 3
Функции нескольких переменных. Вычисление частных производных. Кратные интегралы. 2
Элементы комбинаторики. Элементы теории графов. 1
Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 2
Числовые ряды. Необходимое условие сходимости. Достаточные признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды. 2
Степенные ряды. Радиус сходимости. Разложение в ряд Фурье. 2
Криволинейные интегралы первого и второго рода, их вычисление. 1
Дивергенция, циркуляция, ротор векторного поля. Определение потенциала векторного поля. 1
Классическое определение вероятности. Теорема сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула Бернулли. Числовые характеристики случайных величин. 4
Статистические оценки параметров распределения. Статистическая проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона (χ2). 4

<< | >>
Источник: Блистанова Лидия Дмитриевна. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ "Высшая математика" Москва 2011 г.. 2011

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

4.СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

релевантные научные источники: