Содержание учебной дисциплины
Введение
Студент должен:
иметь представление:
- о роли математики при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин. Цели, задачи математики. Связь математики с общепрофессиональными и специальными дисциплинами.
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1.1. Предел функции. Два замечательных предела. Непрерывность функции.
Студент должен:
знать:
- теоремы о пределах;
- первый и второй замечательные пределы;
- определение непрерывности функции в точке;
уметь:
-вычислять пределы функций с использованием первого и второго замечательного пределов;
- исследовать функцию на непрерывность.
Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функций.
Практическая работа № 1.
Вычисление пределов функций. Исследование функций на непрерывность.
Тема 1.2. Дифференциальное и интегральное исчисление
Студент должен:
знать:
-определение производной, ее геометрический смысл;
- таблицу производных;
- формулы производных сумм, произведения, частного;
- основные методы интегрирования;
- таблицу простейших интегралов;
- формулу Ньютона-Лейбница;
- свойства определенного и неопределенного интегралов;
- определение частной производной;
уметь:
- вычислять производные функции при данном значении аргумента;
-исследовать функции с помощью производной и строить графики;
-интегрировать простейшие определенные интегралы;
-вычислять площади плоских фигур;
- находить частные производные первого и второго порядка.
Производная, ее геометрический смысл. Исследование функций. Приложение производной к решению прикладных задач. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Функции нескольких переменных. Частные производные.
Практическая работа № 2.
Дифференцирование элементарных и сложных функций.
Практическая работа № 3.
Исследование функции с помощью производной и построение графика.
Практическая работа №4.
Решение прикладных задач.
Практическая работа № 5.
Методы интегрирования функций.
Практическая работа № 6.
Геометрическое и физическое приложения определенного интеграла.
Тема 1.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Задача Коши.
Студент должен:
знать:
- типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям;
- определение дифференциального уравнения;
- определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интерпретации;
- об интегральных кривых - решениях дифференциального уравнения;
- алгоритм решения обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными первого порядка.
уметь:
- составлять дифференциальные уравнения на простейших задачах;
- решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными;
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порадка с разделенными и разделяющимися переменными. Общие и частные решения.
Практическая работа № 7.
Решение дифференциальных уравнений.
Тема 1.4. Последовательности и ряды.
Студент должен:
знать:
-определения числовых, знакочередующихся, знакопеременных рядов;
- необходимый и достаточные признаки сходимости рядов;
- признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.
- признак сходимости знакопеременных рядов;
уметь:
- определять сходимость числовых рядов.
Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признаки сходимости: Даламбера, Лейбница. Знакочередующиеся, знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Практическая работа № 8.
Определение сходимости рядов.
Раздел 2. Основы дискретной математики.
Тема 2.1. Множества и отношения.
Свойства отношений.Операции над множествами.
Студент должен:
иметь представление:
- о способах задания множеств;
- о диаграммах Эйлера;
знать:
- определения: множества, отношения;
- операции и свойства операций над множествами;
- свойства отношений.
Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений.
Тема 2.2. Основные понятия теории графов
Студент должен:
иметь представление:
- о связи понятия графов и понятия отношения;
знать:
- определение графов и его элементов;
- виды графов и операции над ними.
Графы. Основные определения. Элементы графов. Виды графов и операции над ними.
Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики.
Тема 3.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Студент должен:
знать:
- основные комбинаторные объекты (типы выборок), формулы и правила расчета количества выборок;
- общие понятия вероятности события;
- классическое определение вероятности;
- формулы для вычисления произведения событий и суммы событий, противоположного события;
- теорему умножения вероятностей;
- теорему сложения вероятностей;
- формулу полной вероятности и формулы Байеса;
уметь:
- находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятности; применять элементы комбинаторики для решения задач на классическое определение вероятности;
- вычислять вероятности сложных событий.
Основные комбинаторные объекты (размещения, сочетания, перестановки) и правила их нахождения.
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Практическая работа № 9.
Вычисление вероятностей сложных событий.
Тема 3.2. Дискретная случайная величина, ее функция распределения.
Характеристики дискретной случайной величины и их свойства.Студент должен:
знать:
- определения дискретной случайной величины;
- закон распределения дискретной случайной величины;
- характеристики дискретной случайной величины и их свойства;
уметь:
- строить ряд распределения дискретной случайной величины;
- находить функцию распределения дискретной случайной величины;
- находить характеристики дискретной случайной величины.
Случайная величина. Дискретная случайная величина.
Закон распределения. Характеристики дискретной случайной величины и их свойства.
Раздел 4. Основные численные методы.
Тема 4.1. Численное дифференцирование.
Студент должен:
знать:
- интерполяционные формулы Ньютона;
- таблицу конечных разностей;
уметь:
- по табличным данным находить аналитическое выражение производной.
Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной.
Тема 4.2. Численное интегрирование.
Студент должен:
знать:
- способы представления функции в виде прямоугольников и трапеций;
- формулу Симпсона;
- выражения для определения абсолютных погрешностей;
уметь:
- вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона.
Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона. Абсолютная погрешность при численном интегрировании.
Практическая работа № 10.
Приближенные методы вычисления определенных интегралов.