Задачи

1. Определить вид метрики плоскости Лобачевского

. 1) на сфере мнимого радиуса в координатах ,

2) в псевдосферических координатах,

3) в конформных координатах в круге,

4) в комплексных координатах,

5) в интерпретации Пуанкаре

Решение.

1)

2)

3) Введем конформные координаты ((стереографическая проекция сферы мнимого радиуса из южного полюса на диаметральную плоскость).

4)

5) Конформное преобразование переводит верхнюю полуплоскость в единичный круг ,. .

Стереографическая проекция сферы мнимого радиуса

2.

имеет вид ..

Решение. В декартовых координатах

3. Инверсия относительно окружности с центром радиуса

имеет вид

4. Доказать, что в интерпретации Пуанкаре преобразования

1) – сдвиг, 2)–инверсия являются движением плоскости Лобачевского.

Решение.(задача 1.5)

5. Найти дробно-линейное преобразование верхней полуплоскости. являющееся движением плоскости Лобачевского, которое переводит прямую в прямую .

Решение.

Инверсия есть движение плоскости Лобачевского. Рассмотрим инверсию .

Вдоль окружности :,

Делаем преобразование

.

6. Найти площадь треугольника: 1) на сфере, 2) на плоскости Лобачевского..

Решение

Площадь двуугольника с вершиной равна .

Аналогично для остальных углов. Обозначим через -точки, диаметрально противоположные.

2) Полагая , для плоскости Лобачевского получим

7. Доказать, что в интерпретации Пуанкаре инверсия относительно окружности с центром на оси есть движение плоскости Лобачевского.

Решение.

8. Доказать, что в интерпретации Пуанкаре инверсия относительно окружности с центром на оси есть симметрия плоскости Лобачевского относительно прямой .

Решение.

Пусть - круговая дуга, изображающая неевклидов отрезок. Обозначим через точку пересечения евклидовой прямой с прямой и проведем касательную к дуге Тогда (степень точки) .Обозначим через окружность с центром и радиусом Рассмотрим инверсию относительно : , дуга. перейдет в дугу . Следовательно, прямые Лобачевского ортогональные и конгруэнтные, точка является неевклидовой срединой дуги .

9. Доказать следующие формулы для расстояния между точками

в метрике плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости;

а) если они имеют одинаковую абсциссу, то , где

–точка пересечения соединяющей их прямой с абсолютом (оси ;

б) если они имеют разные абсциссы, то , где – точка пересечения абсолюта и прямой плоскости Лобачевского (правый конец полуокружности), проходящей через , а – углы между положительным направлением действительной оси и лучами соответственно;

в) в общей ситуации: если произвольные точки верхней полуплоскости, то

Решение.

а) ;

б) пусть прямая Лобачевского – полуокружность с центром радиуса . Проведем инверсию относительно окружности с центром , радиуса .

. Вдоль окружности

имеем – тангенс угла наклона;

в)

Подставим в формулу, получим б).

10. Определить центр и радиус сферы

на плоскости Лобачевского в интерпретации Пуанкаре.

Решение.

11. Доказать, что группа всех изометрий плоскости Лобачевского в модели на верхней полуплоскости состоит из преобразований вида:

12. Доказать, что группа всех изометрий плоскости Лобачевского в модели на верхней полуплоскости состоит из сдвигов вдоль оси , симметрий относительно оси , инверсий относительно окружностей, центры которых на оси и гомотетий.

Решение.

–сдвиг вдоль оси ,

–инверсия и симметрия () ,

-гомотетия,

–сдвиг.

Аналогично проверяется случай .

13. Доказать, что четное число инверсий сводится к случаю , нечетное к случаю .

14. Доказать, что ортогональные траектории пучка прямых Лобачевского есть евклидовы окружности.

Решение.

Рассмотрим пучок окружностей с полюсом

–евклидовы окружности.

15. Доказать, что евклидова окружность есть окружность по Лобачевскому.

Решение.

Рассмотрим пучок полуокружностей (прямых Лобачевского) с полюсом . Докажем, что расстояние от полюса до ортогональной траектории в метрике Лобачевского есть постоянная.

Пусть – ортогональная траектория пучка прямых Лобачевского, т.е. евклидова окружность с центром ,.

касательная прямая, . Полюс есть пересечение окружности

с центром радиуса и прямой (окружностью по Лобачевскому). Пусть . Определим степень точки относительно окружности

Следовательно, точка есть инверсия точки относительно окружности

–движение плоскости Лобачевского. Расстояние от полюса до в метрике Лобачевского есть постоянная, – окружность по Лобачевскому – центр окружности Лобачевского..

16. Доказать, что ортогональные траектории пучка параллельных прямых Лобачевского (орициклы) есть евклидовы окружности, касающиеся оси в полюсе.

Решение.

Рассмотрим пучок окружностей с полюсом (пучок параллельных прямых Лобачевского),

–евклидовы окружности.

17. Доказать, что орициклы конгруэнтны.

Решение.

Для удобства положим

Рассмотрим два орицикла с центрами . Прямая, проходящая через начало координат, пересечет орициклы в точках

.

Рассмотрим треугольники

Отображение есть изометрия плоскости Лобачевского (задача 19).

18. Доказать, что ортогональные траектории пучка прямых Лобачевского ортогональных прямой (окружности: базы) (эквидистанты) есть евклидовы окружности, центры которых не принадлежат оси и проходящие через точки , принадлежащие оси .

Решение.

Рассмотрим прямую Лобачевского и пучок ортогональных прямых

–окружность, проходящая через точки базы .

19. Доказать, что расстояние от базы до эквидистанты постоянное.

Решение.

Рассмотрим инверсию прямой относительно окружности

Так как , то получим окружность

Пусть

Так как инверсия есть симметрия плоскости Лобачевского относительно и ортогональны , то . Итак , .Инверсия есть изометрия (задача 7), следовательно, конгруэнтны.