Основные понятия и теоремы

Теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. Целыми мы будем называть не только числа натурального ряда 1, 2, 3, ... (положительные целые), но также нуль и отрицательные целые - 1, - 2, - 3, ...

Как правило, при изложении теоретического материала мы будем обозначать буквами только целые числа. Случаи, когда буквы могут обозначать и не целые числа, если последнее не будет ясно само по себе, мы будем особо оговаривать.

Сумма а + b, разность a - b и произведение ab двух целых а и b являются также целыми. Но частное от деления а на b (если b не равно нулю) может быть как целым, так и не целым.

В случае, когда частное от деления а на b - целое, обозначая его буквою q, имеем a = bq т. e. а представляется произведением b на целое. Мы говорим тогда, что а делится на b или, что b делит а. При этом а называем кратным числа b, a b - делителем числа а.

То обстоятельство, что b является делителем числа а, записывается так: b\a.

Пример: Имеем

21 = 7?3, 0 = 9?0, - 85 = 17?(- 5).

Поэтому можем сказать: 21 делится на 7, 0 делится на 9, - 85 делится на 17, или: 7 делит 21, 9 делит 0, 17 делит - 85.

Имеют место две следующие теоремы:

Теорема 1: Если а кратно m, m кратно b, то а кратно b.

Доказательство: а = та₁, т = bт₁, следует a = ba₁m₁. Таким образом, а представляется произведением b на целое число a₁m₁ и тем самым делится на b.

Теорема 2: Если в равенстве вида k + l + ... + n = p + q + ... + s относительно всех членов, кроме какого-либо одного, известно, что они кратны b, то и этот один член кратен b.

Доказательство: Пусть таким одним членом будет k. Имеем

l = bl₁,…, n = bn₁, p = bp₁, q = bq₁, s = bs₁,

k = p + q + ... + s – l - … - n = b(p₁ + q₁ + … + s₁ – l₁ - … - n₁).

Таким образом, k представляется произведением b на целое число p₁ + q₁ + … + s₁ – l₁ - … - n₁ и тем самым делится на b.

В заключение мы докажем еще одну теорему, которая нам будет весьма нужна в дальнейшем (теорема о делении с остатком).

Теорема 3: Всякое целое а представляется единственным способом с помощью положительного целого b равенством вида

a = bq + r; 0 £ r < b.

Доказательство: Одно представление числа а равенством такого вида получим, взяв bq равным наибольшему кратному числа b, не превосходящему а. Допустив же существование представления числа а еще одним равенством того же вида: a = bq₁ + r₁; 0 £ r < b, и вычитая почленно это последнее равенство из предыдущего, получим

0 = b(q - q₁) + r - r₁. (1)

Отсюда убедимся (Теорема 2), что разность r – r₁ кратна b. С другой стороны, легко видеть, что та же разность, как разность двух неотрицательных чисел, меньших b, сама будет численно меньше b, числом же, кратным b и численно меньшим b, является лишь число 0. Поэтому r – r₁ = 0, а отсюда и из равенства (1) будет следовать, что и q – q₁ = 0. Таким образом, второе представление числа а, тождественно первому.

Число q называется неполным частным, а число r - остатком от деления а на b. Очевидно, что при r = 0 понятия «неполное частное» и «частное» совпадают.

Пример: Пусть b = 14. Имеем

177 = 14?12 + 9, 0 < 9 < 14,

- 64 = 14?(- 5) + 6, 0 < 6 < 14,

154 = 14?11 + 0, 0 = 0 < 14. 2