Задачи

1. Доказать, что дважды ковариантный тензор можно представить в виде суммы симметричного и кососимметричного тензора.

2. Сколько различных координат содержит симметричный тензор в ?

3.

4. Доказать, что если – кососимметричен, то .

5. Разложить тензор на симметричный и кососимметричный .

6. Записать, чему равны выражения: , ?

7. Доказать, что в пространстве любая кососомметричная трилинейная форма только скалярным множителем отличается от скалярного произведения .

8. Доказать, что если тензор симметричен по двум верхним индексам и кососимметричен по двум нижним индексам, то в результате двойного свертывания по этим парам индексов получается нуль.

9. Найти .

10. Чему равно , если – симметричный тензор?

11. Доказать, что если тензор симметричен по первым двум индексам и для любого имеет место равенство , то .

12. Доказать, что если кососимметричен по первым двум индексам, то .

13. Проверить справедливость тождества

.

14. Доказать, что если в кососимметричный тензор, то он отличается от дискриминантного тензора только инвариантом.

15. Определить , где .

16. Доказать , , , .

17. Определить , где .

18. Доказать, что если – симметричный тензор, то , если – антисимметричный, то .