ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫБОРКИ

Цели

Иметь представление:

• о разнообразии статистических критериев проверки стохастической независимости элементов выборки;
• условиях применимости и свойствах различных критериев проверки гипотез о стохастической независимости элементов выборки;
• сравнительной мощности критериев о стохастической независимости элементов выборки.

Знать:

• ранговые критерии стохастической независимости (критерий серий, основанный на медиане, критерий «восходящих» и «нисходящих» серий);
• критерий стохастической независимости Аббе.

Уметь:

• проверять гипотезы о стохастической независимости с помощью ранговых критериев (критерий серий, основанный на медиане, и критерий «восходящих» и «нисходящих» серий);
• проверять гипотезу о стохастической независимости с помощью критерия Аббе.

Прежде чем присту пить к статистической обработке результатов наблюдений, необходимо убедиться в том, что элементы выборки образуют случайную последовательность (являются случайными и независимыми).

Существует ряд критериев для проверки случайности и независимости элементов выборки. Рассмотрим некоторые из них.

1. Критерий серий, основанный на медиане

Пусть дана выборка х(, і = 1, п из некоторой генеральной совокупности. Необходимо проверить случайность и независимость элементов выборки. Для этого воспользуемся критерием серий, основанном на медиане [1], являющимся ранговым.

1. й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез.

Но: элементы выборки х„ і = 1 ,п являются стохастически независимыми,

Н\\ элементы выборки х„ / = 1,« не являются стохастически независимыми.

2. й шаг. Задание уровня значимости а.
3. й шаг.
   Формирование критической статистики.

Прежде чем определить вид критической статистики, необходимо выполнить следующую последовательность действий.

1. Сформировать из элементов выборки вариационный ряд

(46)

(47)

Х(!) lt;Х(2) lt; ... lt;Х(|) lt; ... lt;Х(я) .

2. Найти оценку медианы,

Xmed = JC((«+l)/2gt; ЄСЛИ « НЄЧЄТНО,

X med = 0.5[ Х(„/2) + Х(п/2+1) ], ЄСЛИ П ЧЄТНО.

3. В исходной выборке вместо каждого х(1) будем ставить «+», если Х(/) gt; X med, «-», если X(l) lt; X med. ЕСЛИ Х(() = X med, то знак не ставить.

Полученная последовательность «+» и «-» может характеризоваться количеством серий v(«) и длиной самой длинной серии т(«).

При этом под серией понимается последовательность подряд идущих «+» или «-». Серия может состоять только из одного «+» или «-». Длина серии - количество подряд идущих «+» или «-».

В данном критерии одновременно рассматривают пару критических статистик (двумерная критическая статистика)

Укр = у{у(л), т(я)}.

Предельное распределение статистики \ркр является двумерным с частными предельными распределениями v(n) и т(п).

4. й шаг. Определение верхней и нижней критических точек распределения осуществляется расчетным путем из выражений

Vkp (и) = 0.5(л +1 - н,_а sin -1),              (48)

~2~

TKp(«) = 3.3-lg(n+l),              (49)

1-а

где их_а - квантиль нормального распределения уровня .

~Т              2

5. й шаг. Определение расчетных значений критической статистики.

УраСч(«)              определяет количество серий в              исходной              выборке, а

тРасч(«) _ длину              самой длинной серии. Если              одновременно              выпол

няются условия

Г^расч(«) ^ 1К'р(«)'

I Храсч(«) ^ tKp(n),

то Но может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.

•І1,

Запомните! Критерий серий, основанный на медиане, улавливает только монотонное изменение среднего (оценки математического ожидания).

Пример 27. Для выборки xh і = 1,27 из примера 26 проверить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки при а = 0,05 с помощью критерия серий, основанного на медиане. Для п = 21 медиана равна 14-му элементу вариационного ряда

Построим последовательность «+» и «-»

1— + — + — И—I—I—НН—К — +              +              —              +

Следовательно, vpat4(w) = 15, траСч(п) = 6.

Из выражений (48) и (49) найдем

vKp(27) = 0,5 (27 + 1- и0415л/27-1 ) = 9,003, ТцР-1) = 3,3 lg (27+1) = 4,78.

Поскольку условие (50) не выполняется, то элементы выборки нельзя считать случайными и независимыми.