Проверка гипотезы об отсутствии линейной статистической связи

Надежность характеристики г ослабевает с уменьшением объема выборки п, поэтому важно уметь определять минимальное значение г , отклонение которого от нуля можно считать значимым.

Показано, что в случае совместной нормальной распределенности исследуемых параметров и большом п распределение г асимптотически нормально с

М{?} = г, В{г}=о) Г

п

Однако при малых п яг, близких к 1, это допущение нарушается. Хорошее приближение распределения г к нормальному закону получается при малых значениях | г |, что позволяет сконструировать критерий об отсутствии корреляционной связи между исследуемыми признаками. Рассмотрим пять шагов логической схемы статистического критерия.

1. й шаг. Формирование гипотезы об отсутствии статистической связи

Н0: гх,у = О,

Н\. гх,у* 0.

2. й шаг. Задание уровня значимости а .
3. й шаг. Выбор вида критической статистики

При «-»со предельное распределение статистики ц/кр имеет /-распределение Стьюдента с (и - 2) числом степеней свободы

lim Щукр) = /(Фкр; « - 2).

4. й шаг. Определение критических границ

2

-100%

фкр.в a (« — 2),

Укр.н Ч^крв

где              (п-2)              -              процентная              точка              /-распределения              Стьюдента

—100%

2

уровня — ¦100%.

5. й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

Irx J\yjn-2

фрасч =              Г~=“-

Vі ~fh

,Если выполняется условие

М/кр.н ^ Vpac4 ^ ЧАр.вgt;              (69)

то гипотеза Н0 верна, в противном случае, Н0 отвергается с ошибкой первого рода а.

Пример 34. Для данных примера 33 проверить гипотезу об отсутствии линейной статистической связи между стоимостью квартиры и ее удаленностью от областного центра при уровне значимости а = 0,05. Воспользуемся пятью шагами логической схемы проверки гипотез.

1. й шаг.

Но'- ту7= 0,

Н\: ryz ^ 0.

2. й шаг. а = 0,05.
3. й шаг. Вид критической статистики

I Jn-

r-

Уч» /. —2

r r,z

Согласно (67) при n —gt; со закон ее распределения стремится к /-распределению Стьюдента с (п - 2) числом степеней свободы.

4. й шаг. Найдем критические границы для критерия, воспользовавшись таблицей процентных точек /-распределения Стьюдента из прил. 2.

4Vb= L,5 %(16) = 2,12,

5. й шаг. Расчетное значение критической статистики найдем из выражения (68)

0,99 Vl6

= 28,07.

Поскольку 28,07 не попадает в интервал (-2,12; 2,12), условие (69) не выполняется и гипотеза Щ ошибочна.

Действительно, корреляционную связь с fy z =-0,99 нельзя считать незначимой.

3. Доверительные интервалы для истинного значения коэффициента корреляции

Как уже отмечалось в п. 1.4.2, при малой выборке точечными оценками числовых характеристик пользоваться некорректно. Необходимо интервальное оценивание.

Построим доверительные интервальные оценки для истинного значения коэффициента корреляции [2, 4]. Это можно сделать, основываясь на нормальной распределенности г . Верхнюю и нижнюю границы интервала г„ и г„ можно вычислить из выражения

где ир - квантиль нормального распределения, р - уровень довери

2

тельной вероятности.

Однако использование выражения (70) возможно при многих ограничениях, выполнение которых не всегда возможно, а именно:

• г должно быть близко к величине ± 1;
• п достаточно велико.

Избавиться от этих ограничений позволяет преобразование

(71)

предложенное Р.

UP              =              иЕ

2              1-г              2(и-1)              2(77-1)'

zHB =—__2_                            —- = arcth г +              '              —¦.              (72)

Отсюда следует, что истинное значение коэффициента корреляции г с доверительной вероятностью (р) заключено в пределах

th zH lt; г lt; th zB

где th z - гиперболический тангенс от аргумента z.

Зная z„ и zB, можно найти th z„ и th zB, воспользовавшись таблицей преобразования Фишера из прил. 8.

т Пример 35. Для данных примера 33 и полученного значения ?у z получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции при /gt; = 0,95. Из выражения (72) получим (при м? = щ 475 = 1,96):

2

1              1 _ о 99              1              96              -0              99

zH =-1п ¦¦¦- ’—-і—^-3 124, н              2              1 + 0,99              ТЇ5              34

1              1-0,99              1,96              -0,99              011|

2 = —In              Н—7=-              = -2,1 1 1.

в              2              1 + 0,99              ТЇ5              34

Воспользовавшись таблицей прил. 8 и помня, что знаки функции th z и аргумента z одинаковы, найдем:

th z„ = - 0,997, th zB = - 0,971.

Следовательно

-0,997 lt;rYXlt;- 0,971.