Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни

Критерий Вилкоксона - Манна - Уитни является ранговым и применяется для проверки однородности двух выборок независимых случайных величин, распределения которых неизвестны

[1,3].

Критерий находит применение при объеме выборки меньше 60, так как при больших п возрастает трудоемкость метода. Статистические данные должны быть представлены в негруппированном виде.

Здесь возможны два случая. Рассмотрим их последовательно. - Случай А. Пусть имеются две выборки независимых непрерывных случайных величин (п lt; 25 для обеих выборок) х„ і = 1,яь,

yj,j = 1,п2, где «1 lt; 25, «2 lt; 25.              .

Рассмотрим последовательность критерия.

1. й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Ну F(x) = F(y), IF F(x) ± F(y),

где F(x) и F(y) - неизвестные непрерывные функции распределения случайных величин X и Y.

2. й шаг. Задание уровня значимости а.

' /=і

3. й шаг. Формирование критической статистики. Статистика критерия имеет вид

(42)

где R"' - ранги элементов выборки меньшего объема (щ lt; п2).

Суммирование рангов R, осуществляется по элементам меньшей выборки.

Предельное распределение статистики стремится к распределению Вилкоксона - Манна - Уитни.

Для принятия решения об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона-Манна-Уитни необходимо выполнить следующую последовательность действий.

1. Проанализировать объемы выборок пх и т*2, сравнить их между собой. Меньшую выборку будем считать первой. Пусть щ - объем меньшей выборки.
2. Из двух выборок составляем общий вариационный ряд с обозначением рангов вариант.
   Если в обеих выборках есть одинаковые варианты, то в общем вариационном ряду первыми записываются варианты меньшей (первой) выборки.

4. й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения Вилкоксона - Манна - Уитни [12] для уровня значимости а находим нижнюю критическую точку (см. таблицу прил. 5)

фкр.н ~ ®а/2 («1, 7*2),

где сОа/2 (т?|, 772) - квантиль распределения Вилкоксона.

Верхняя критическая точка находится из выражения

Фкр.в = (7*1+ 772 + 1) 7J, -фкр н              (43)

или в виде

фкр в ~ 2MW- v|/KpH,

где 2MW может быть взято из таблицы прил. 5 для соответствующих 7*1 И 7*2

5. й шаг. Вычисление расчетного значения критической статистики

«1+«2 фрасч =              Д              '

lt;=1

осуществляется суммированием рангов І?”1 вариант первой выборки в общем вариационном ряду.

Если выполняется условие

фкр н lt;' фрасч. ^ фкр.в э              (44)

то гипотеза Но верна. В противном случае Но отвергается.

Случай Б. Объем хотя бы одной из выборок больше 25. Отличие данного случая от предыдущего состоит только в вычислении

Укрн на четвертом шаге проверки гипотезы об однородности. А именно,

4V„ = ttgt;(a/2,п2)

(и, +«2 +l)«i -1              ПХП2              (»1              +              п2              +              I)

1-а

— и

12

(45)

1-а

где щ_а - квантиль нормального распределения уровня               (на-

~Г              2

ходится по статистическим таблицам функции нормального распределения прил. 1).

Пример 26. Объемы дневных продаж овощных магазинов в двух районах области представлены выборками х„ /= 1, и, yJf j = 1, п2 (в тыс. руб.), П\—п2 — 27.

Проверить гипотезу об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни при уровне значимости a = 0,05.

Поскольку П/ — п2~ 27, то воспользуемся алгоритмом для случая Б.

Составим из двух выборок общий вариационный ряд, проставляя сразу ранг Rk, к = 1, и, + п2 элемента объединенного ряда. Принадлежность элемента той или иной выборке обозначим с помощью индекса ранга.

Используя выражения 45 и 43, вычислим соответственно ц/кр н и фкр.в) полагая, что для а = 0,05 м,_а = и0 475 =1,96

~г

_ (27 + 27 + 1).27-1              27-27(27              +              27              +              1)              _г„0              „

Vkp.h              2              ’              у              у2              628,7,

Цgt;кр.в = (27+27+1)27 - 628,7 = 856,3.

По формуле (42) получим ц/расч = 734.

Как видно из результатов вычислений, условие (44) выполняется 628,7 lt; 734 lt; 856,3. Следовательно, Н0 верна и выборки следует считать однородными с ошибкой первого рода а = 0,05.