Критерий согласия Колмогорова - Смирнова

Критерий согласия Колмогорова - Смирнова позволяет проверить гипотезу о согласии при небольшом объеме выборки, когда Fmod известна полностью, т. е. известны и параметры модели [1,6, 12, 15].

Рассмотрим последовательность критерия.

1. й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез

H0:F(x) = Fmod(X;Q), tf,:F(*)*Fraod(*;e).

2. й шаг. Задание уровня значимости а.
3. й шаг. Формирование критической статистики.

В критерии Колмогорова-Смирнова для введения меры отклонения эмпирического и модельного распределений используются статистики вида:

D,,=max|F(X)-ilt;nod(V;e)| ;

D+n = max (F(X) - Fmod (X; ©)) ;              (62)

Agt;max(Fmod(X;©)-F(X)) .

Статистики вида 4nDn и 4nD~ являются статистиками Кол-, могорова и Смирнова соответственно. При этом

D„ = max|D;,D;|.

Известны точные распределения статистик Dm D* и Zgt;~ [13]. Для практических целей обычно достаточно статистики D„.

Поэтому в качестве цУкр воспользуемся функцией вида

Ц1Кр= 4n Dn - sfn ¦ max |F(X) - Fmoi(X; ©)|.              (63)

1. H. Колмогоров показал, что если функция Fmod(X;@) не" прерывна, то распределение і|;кр имеет пределом функцию

(64)

/=-оо

получившую название функции Колмогорова и не зависящую от вида функции Fmod (X; 0).

Однако если Fmod(X;0) задана с точностью до неизвестных параметров 0 и они оцениваются по выборке [1], то предельное распределение статистики Dn -у/йуже зависит от Fmod (Х;0) При этом

статистика будет зависеть только от формы распределения Fmod (Я;0). Если в модельном распределении есть только параметры сдвига и масштаба, то применимость критерия Колмогорова - Смирнова корректна.

4. й шаг. Из определения функции распределения следует, что при достаточно большом п и любом ідкр gt; 0 вероятность того, что 4nDn примет значение, меньшее Vj/^, будет иметь вид

p{JiiDn gt;'Ркр} = 1-Я('Ркр) = 1- Ё (-І)' е~^ =а.              (65)

/=-00

Значение ч/крв при заданном а можно найти с помощью таблицы функции (65), представленной в прил.

Нижняя критическая граница в критерии Колмогорова не используется.

5. й шаг. vj/расч определяется из выражения (63) подстановкой значений п и Ъ„ для конкретных эмпирических данных. Если выполняется условие

Ч^расч + Ч^кр.В)

то гипотеза о согласии эмпирического распределения и модельного принимается.

Критерий согласия Колмогорова - Смирнова может использоваться и при большом объеме выборки. Для этого необходимо выборку представить в группированном виде и значения F(X) и

FmOd(AT;0) определять на границах интервалов группирования.

Пример 31. Для задания примера 30 проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью по критерию Колмогорова - Смирнова при а = 0,05.

Результаты вычисления статистики \ркр сведены в табл. 5. Методика вычисления F (X; а, X) рассмотрена в примере 30.

1. й шаг. Ну. F (X) = FN (X; а, Т.),

Hx:F(X)*FN(X; аД).

2. й шаг. а = 0.05.
3. й шаг. Вид фкр и ее распределение определяются соответственно из выражений (63) и (64).
4. й шаг. ч/крв = 1.36 определяем из таблицы прил. 7 для уровня а = 0,05.
5. й шаг. Используя данные табл. 5, находим

М*расч=шах jF(X)-Fn(X\ 997,45, 19,03)|-Vn =

= 0,0317-л/400 = 0,634.

Поскольку і|урасч gt; \|/кри, то гипотеза Н0 отвергается с ошибкой первого рода а = 0,05.

Таблица 5

Результаты вычисления \|/рас., к примеру 31