ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СОГЛАСИИ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ВЫБРАННОЙ МОДЕЛИ

wShcJ Иметь представление:

• о критериях проверки гипотез о согласии эмпирического и теоретического распределений;
• условиях применимости статистических критериев проверки согласия эмпирического распределения с моделью.

Знать:

• критерий проверки согласия х2-Пирсона;
• критерий проверки согласия Колмогорова - Смирнова;
• причины возникновения слишком малых расчетных значений критической статистики для критерия согласия х2-Пирсона.

Уметь:

• проверять гипотезу о согласии эмпирического й теоретического распределений по критерию х2-Пирсона;
• проверять гипотезу о согласии эмпирическогр и теоретического распределений по критерию согласия Колмогорова - Смирнова.

Пусть выдвинута гипотеза о том, что случайная выборка из генеральной совокупности может быть описана некоторой моделью с функцией распределения Fmod(x; ©), где © - вектор параметров, которые могут быть как известны, так и неизвестны.

Большинство критериев проверки согласия основаны на использовании меры расстояний между анализируемой эмпирической функцией распределения F (х) (определенной по выборке объема п) и гипотетической модельной Fmod(x; © ).

Здесь рассмотрены критерии согласия х2-Пирсона и Колмогорова - Смирнова.

1. Критерий согласия х2-Пирсона

Критерий согласия х2"Пирсона позволяет осуществлять проверку гипотезы о согласии, когда параметры модели неизвестны [1,11,15].

Неизвестные параметры модели могут быть заменены в модели их оценками, полученными по выборке, например по методу моментов или методу максимального правдоподобия (см. п. 2.4).

Критерий согласия х2-Пирсона применим при п gt; 200 и требует группирования выборки. При этом число интервалов группирования L gt; 8, а количество попаданий в каждый интервал р, должно быть не менее 7...

Рассмотрим последовательность критерия согласия х2-Г1ирсона.

1. й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Ну. F (х) = Fmod(X; 0),

Я,: F (х) Ф Fmod(X; 0).

2. й шаг. Задание уровня значимости а.
3. й шаг. Формирование критической статистики

—              — п' Pj)              /сп\

Vkp              gt;              (57)

м ”Pj

где p.j ,j -\,L - количество попаданий в каждый j-й интервал группирования, р2 - теоретическая вероятность попадания в j-й интервал

Pj — Fmod(*/+b © ) — Fmo/Xj, © ).              (58)

Здесь Xj+i и xj - соответственно верхняя и нижняя границы текущего интервала группирования.

Предельное распределение статистики vyKp при п —gt; оо имеет вид

lim              =х2К;              (59)

»-»• ./=1 n-Pj              v              '

4 \

где S - количество параметров модельного распределения, согласие с которым проверяется, a              L-S-1) - функция

хи-квадрат распределения с (L-S - 1) числом степеней свободы.

4. й шаг. Определение верхней и нижней критических точек по таблице процентных точек х -распределения (прил. 3):

фкр.в — X аЛ-100 % (X — S — 1 ),

фкр.н = х (1-0/2) 100 % (L - S - 1).

gt;-i n'Pj

5. й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

Если выполняется условие

хЛ-о/г) loo % (L - S - 1) lt; HW'i lt; Х2о/2юо %(L- S- 1),              (61)

то гипотеза о согласии Но верна с ошибкой первого рода а. В противном случае гипотеза Но отвергается.

Отвержение гипотезы Но при М;расч lt; Х"( 1-0/2)-100% (L - S - 1) на первый взгляд противоречит здравому смыслу [1]. Однако надо отметить, что vppac,, как статистика также является случайной величиной со своей дисперсией.

фрасч-

Причинами возникновения слишком малых vj/paC4 могут быть

как неудачный выбор Fmod(x; ©) (например, при искусственном завышении числа параметров модели), так и некорректное проведение эксперимента при деформировании выборки, например стремление искусственно «подогнать» эмпирические данные под результат.

Пример 30. Результаты исследования отклонения фактического выпуска продукции (тыс. руб.) от планового (план - 1000 тыс. руб.) 400 предприятий представлены в группированном виде:

Подобрать адекватную модель для описания эмпирических данных и проверить гипотезу о согласии по критерию х2-Пирсона для уровня значимости а = 0,1.

Для решения задачи, воспользовавшись выражениями (6), (12), (16) и (17), получим оценки

/Д) = 997,45, а2 =361,998, 02 =0,05, 02 =2,43.

Основываясь на методе плоскости моментов (рис. 15), можно предположить, что эмпирическое распределение (р2, Р2) попадает на плоскости моментов в зону притяжения нормального распределения, следовательно, в качестве гипотетической можно выбрать модель нормального распределения.

Для проверки гипотезы о согласии по критерию х2-Пирсона необходимо получить оценки параметров модели.

Ом = 997,45ДМ =19,03.

Следовательно, плотность вероятности нормальной модели будет иметь вид (27)

(х-997,45)2 723.996

19,03 Jit

W(x;a,X) =

Для удовлетворения условий применимости критерия согласия Х2-Пирсона необходимо объединить 1 и 2 интервалы, а также 9 и 10.

Проверим гипотезу о согласии, опираясь на 5 шагов логической схемы статистического критерия.

1. й шаг

Я0:/?(х) = /Д(Х;аД),

Я, \F(x)*FN{X;a,X),

где индекс Я означает нормальную модель распределения.

2. й шаг. а = 0,1.              з
3. й шаг. Вид фкр и ее предельное распределение определяются выражениями (57) и (59).
4. й шаг

ЧЧlt;р в — X 5% (L—S— 1),

где исправленное количество интервалов группирования L = 8, число параметров нормальной модели S = 2. Следовательно, из таблицы процентных точек хи-квадрат распределения (прил. 3) найдем

ЧЧв = Х25% (5)= 11Д7, фкрн- X 95% (5)              1,15.

5. й шаг. Для определения ч/расч следует вычислить теоретическую вероятность pj на заданном интервале, для чего необходимо воспользоваться статистическими таблицами функции нормального распределения (прил. 1).

Результаты вычислений сведены в табл. 4.

Необходимо обратить внимание на следующие особенности:

• для вычисления Pj границы первого и последнего интервалов соответственно имеют вид (-да, 970), (1030, оо);
• для того чтобы при вычислении рі воспользоваться таблицей нормального стандартного распределения, границы интервалов xf необходимо стандартизировать в виде

Таблица 4

Результаты вычисления урас., к примеру 30

В соответствии с результатами вычисления

м/расч= 17,494,

следовательно, условие (61) не выполняется, т. е. гипотеза о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью отвергается.

V