2.9. Парадокс часов в общей теории относительности

<к = dti (1 + ср/с2 - v2/2c2)

Чем выше потенциал <р, отсчитанный от нуля (т.е.

Вернемся еще раз к парадоксу часов. В рамках СТО мы выяснили, что только одна из двух систем отсчета - система остававшегося на Земле Землянина - может рассматриваться как инерциальная. Космонавт, вначале улетавший от Земли, а затем возвращавшийся к ней, на каждом из этих двух этапов был связан соответственно с двумя различными инерциальными системами отсчета, и парадокс возникает именно в связи с его переходом из одной системы отсчета в другую.

ОТО предлагает метод расчета течения времени как раз на этапе этого перехода. Воспользуемся приближенным методом, приведенным в [Толмен, 1974]. Нам достаточно рассмотреть лишь три этапа:

инерциальный полет ракеты при удалении от Земли на расстояние Н (этап старта нас не интересует, ракета могла просто пролететь мимо Земли, запустив часы в момент, когда она с ней поравнялась)

изменения скорости (торможение) с величины v до величины - v

инерциальный полет ракеты при возвращении к Земле (этап финиша нас также не интересует, ракета могла просто пролететь мимо Земли, остановив часы в момент, когда она с ней поравнялась)

С точки зрения летящего на ракете Космонавта, на первом и последнем тапах Землянин инерциально двигался относительно него, и потому часы Землянина часы должны показать меньшее время

(п + т3) = (T'J + T'3)4\-P2^(T'I + r'3)(l-v2/2c2)

(штрихом отмечены показания часов Космонавта, нештрихованные величины отвечают показаниям часов Землянина с точки зрения летящего на ракете Космонавта).

Что же происходит с Землянином по мнению Космонавта на этапе торможения ракеты? Космонавт может считать, что к Землянину в начале 2-го этапа скачком прикладывается (в положительном направлении) однородное поле тяготения, которое в конце 2-го этапа скачком же выключается.

Согласно ОТО (и пренебрегая скоростью на этапе торможения), на втором этапе время торможения по часам Землянина составит

Т2 = т'2(1 + (р/с2)= т'2 (1 + gH/c2)

2. Время и теория относительности

25

Учтем, что ускорение g можно записать в виде

g = 2v/r'2 а пройденный путь Н - в виде

Тогда получим:

¦с 2 =-c'i(l + gH/c2)= т'2 [1 + (2V/T'2)(V Т'0/С2]= = т'2 [1 + (2V2/C2)(T'1/T'2)]= T'2+ T'J (2V2/C2)

Учитывая симметрию 1-го и 3-го этапа, положим

Т] = Т3 = Т, Т'] = Т'з = т',

Тогда

T2=T'2+T'(2V2/C2)

Теперь вычислим суммарное время для трех этапов:

2т + т2 = 2т' (l-v2/2c2) + т'2 + т' (2v2/c2) = = т' (2-2v2/2c2 + 2v2/c2) + т'2= т' (2 + v2/c2)+ т'2

(Как указано выше, штрихом отмечены показания часов Космонавта, нештрихованные величины отвечают показаниям часов Землянина с точки зрения летящего на ракете Космонавта).

Иными словами, суммарное время трех этапов по часам Землянина с точки зрения летящего на ракете Космонавта составит

Тсумм = т'(2 + v2/c2)+ т'2

Разность суммарного времени между часами Землянина и Космонавта в системе отсчета Космонавта составит:

Л Тсумм= [т' (2 + v2/c2)+ т'2] - [2т' + т'2]= T'V2/C2

Как видим, время торможения т'2 в рассматриваемом приближении вообще не вошло в выражение для разности АТсумм , а также в отношение этой разности к суммарной длительности первого и третьего этапов (этап торможения сюда не включен):

ё=АТсумм/2т' = 1/(2у2/с2)

Таким образом, согласно мнению Космонавта, показания часов Землянина должны превысить показания его собственных часов в (1 + S) раз по отношению к суммарной длительности первого и третьего этапов. Напомним, что согласно СТО показания часов Землянина, по мнению Космонавта, должны были быть, напротив, меньше этой суммарной длительности в (1 + S) раз.

Что касается системы отсчета Землянина, то она является инерциальной, время торможения Космонавта можно положить равной нулю и, в строгом соответствии со СТО, с точки зрения Землянина показания часов Землянина должны превысить показания часов Космонавта в (1 + S) раз по отношению к суммарной длительности этапов удаления и возвращения Космонавта.

Таким образом, парадокс часов в рамках ОТО исчезает благодаря характеру течения времени на этапе торможения часов.

26

2. Время и теория относительности