2.4. Хронологическая эволюция в СТО

Рис. 2.5. Последовательность световых гиперповерхностей, отвечающая сдвигу Пуанкаре

Между тем существует более обширная группа преобразований в этом пространстве -группа Пуанкаре, которая, помимо преобразований поворота (т.е. группы Лоренца), содержит также операции сдвига вдоль трех пространственных и одной временной оси. Группа Пуанкаре характеризуется поэтому 10 параметрами. Для каждого из 6 вращений и 4 сдвигов можно ввести линейный дифференциальный оператор (генератор), позволяющий выразить в первом приближении отклонение вектора при малом отклонении соответствующего параметра преобразования (угла поворота или величины сдвига). При этом указанные математические операторы с точностью до размерной константы совпадают с основными физическими операторами (момента импульса, скорости, импульса и энергии). Именно по этой причине законы сохранения названных физических величин связаны с симметрией пространства Минковского относительно поворотов и сдвигов.

16

2. Время и теория относительности

Может показаться, что параллельный сдвиг во времени (назовем его сдвигом Пуанкаре) -единственно возможный вид отображения множества всех 4-мерных событий в себя, отвечающий переходу к новому моменту времени в качестве нулевого (т.е. текущего) отсчета. В этом случае для последовательности световых импульсов, испущенных из некоторой пространственной точки, мы получим ряд световых конусов, показанных на рис. 2.5. С течением времени, которое (течение) само по себе является уже не математическим, а физическим феноменом, точки одного светового конуса (например, sO) переходят в точки следующего светового конуса (например, si), лежащие на той же самой временной вертикали (например, проходящей через координату xl).

Однако такая модель хронологической эволюции, во-первых, не является априорно единственно возможной, а во-вторых (и это главное!) не удовлетворяет требованиям релятивистской инвариантности.

Рис. 2.6. Последовательность гиперповерхностей, отвечающая Е-сдвигу

Действительно, в другой системе координат выбранная нами линия, проходящая через координату xl, уже не будет параллельной оси времени. Кроме того, расстояния вдоль новой оси времени между световыми конусами в новой системе отсчета не будут равны этим расстояниям в старой системе. Поэтому выбранные нами два семейства геометрических мест не позволяют инвариантным образом параметризовать все множество 4-мерных событий и описать их (реальную) эволюцию во времени.

Для соблюдения требований релятивистской инвариантности нам необходимо выбрать другую пространственно-временную сетку (см. рис. 2.6). Как известно, инвариантно определенными при любых преобразованиях Лоренца оказываются семейства гиперповерхностей

t2c2 - г2 = const,

расстояния между которыми по оси времени равны в любой системе отсчета. Далее, также инвариантным в любой системе отсчета оказывается положение прямых линий, соединяющих начало координат с заданной 4-мерной точкой. В результате мы фактически построили Лоренц-инвариантную систему координат . Аналогичным образом осуществима параметризация абсолютно удаленных пространственных слоев вне начального светового конуса, но мы не будем на этом останавливаться.

На самом деле мы также определили траектории "дрейфа" образов 4-мерных событий при некотором сдвиге во времени системы координат. Действительно, если все выбранные нами инвариантные гиперповерхности по оси времени расположены одна от другой на одном и том же расстоянии, то и расстояния между ними вдоль любой радиальной линии между собой также будут равны (каждая из этих линий играет роль оси времени в соответствующей системе координат). Соответственно, проекции отрезков этих линий на ось времени (и притом в любой системе координат) также будут равны между собой. Таким образом, мы имеем полное право определить такой новый тип сдвига во времени, при котором точки одной гиперповерхности в

1 Построенные гиперповерхности соответствуют координатам наблюдателей Риндлера (см., например, http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_space).

2. Время и теория относительности

17

точности переходят в соответствующие точки следующей гиперповерхности, т.е. имеет место как бы "параллельный" перенос этих поверхностей. Для хронологического оператора, реализующего подобный эволюционный сдвиг, я предлагаю использовать название "Е-оператор" (как больше понравится читателю - от слова "эволюция" или в честь автора теории относительности).

Этот Е-сдвиг, по-существу, определяет не параллельный перенос оси времени в какой-либо случайно выбранной системе координат, а сдвиг интервала в пространстве Минковского. Далее, пространственные сдвиги и все вращения должны теперь также определяться в 4-мерной точке не для произвольно выбранной системы координат, а по отношению к соответствующей гиперповерхности и соответствующему направлению скорости. В совокупности все эти модифицированные преобразования образуют новую 10-параметрическую Е-группу, т.е. замкнутое множество операций, и порождают соответствующие генераторы. В частности, Е-оператор энергии соответствует симметрии пространства Минковского не вдоль произвольно выбранной оси времени, а вдоль объективно заданной мировой линии инерциалъного движения пробного тела.