2.3. Сопоставление лабораторной системы отсчета с движущейся

2. Время и теория относительности

13

координат - лабораторную и движущуюся (назовем ее системой отсчета ракеты). Взаимное соответствие между ними оказывается существенно иным, нежели в случае двух евклидовых систем координат (что, к сожалению, крайне неполно отражено в подавляющем большинстве учебников по теории относительности). При этом мы для простоты ограничимся лишь одним пространственным измерением по оси х.

Что касается оси времени, то опять-таки для простоты выберем систему единиц, в которой скорость света с принята равной 1, поэтому в численном отношении величины t net считаются равными. Следует также помнить, что ось времени является мнимой, так же как и пространственно-временные углы.

Теперь начнем наши построения, максимально следуя схеме, приведенной в замечательной учебной монографии [Тэйлор и Уилер, 1971]. Прежде всего построим две ортогональные осиxnt лабораторной системы отсчета. Далее построим ось времени t'системы отсчета ракеты. Эта ось будет изображаться прямой линией, проходящей через начало лабораторной системы под (мнимым) углом в, где

sh6=p/^-B2 , ch6 = 1/^jl-B2

Это — геометрическое место всех событий, происходящих в начале пространственных координат системы отсчета ракеты, т.е. это действительно ось t' системы отсчета ракеты. Наклон оси t' по отношению к оси t определяется соотношением:

Пройденный путь/Время движения = /? = th 6

Если скорость ракеты (т.е. тангенс угла между осями tut') мала, то и угол в невелик. Если же скорость ракеты близка к скорости света, то и угол в стремится к половине прямого угла.

1 >Л"

Рис. 2.1. Положение в лабораторной системе отсчета оси времени системы отсчета ракеты.

Теперь мы должны построить пространственную ось х', отвечающую системе отсчета ракеты. В силу линейности преобразования Лоренца, это также будет прямая линия. На основании принципа относительности ось х' системы отсчета ракеты должна подниматься вправо с тем же наклоном, с каким ось t' системы отсчета ракеты отклоняется вправо же (т.е. мировая линия света в любой системе должна оставаться биссектриссой). На рис. 2.2 пунктиром проведена мировая линия вспышки света, а также показана координатная сетка системы отсчета ракеты так, как она будет выглядеть в лабораторной системе. Таким образом, в лабораторной системе отсчета система координатных осей ракеты будет уже не ортогональной, а косоугольной]

14

2. Время и теория относительности

Рис. 2.2. Положение в лабораторной системе отсчета пространственной оси

системы отсчета ракеты.

Нам осталось сделать последний шаг - установить, как одновременно с изменением угла меняется шаг координатной сетки, т.е. шкала длин и времен. Действительно, эта шкала вовсе не остается одной и той же!

7 9

Проведем гиперболу t —х =1, полагая скорость света с равной единице (рис. 2.3). В той точке, где эта гипербола пересекает ось t лабораторной системы отсчета (где х = 0), мы имеем

2 2

момент времени t = 1. Однако интервал t — х инвариантен, так что при этом мы получим

7 9

также (t'J — (х') = 1. Следовательно, в точке пересечения гиперболой оси t' системы отсчета ракеты (где х' = 0) мы имеем момент времени t' = 1. Из соображений симметрии и ввиду линейности уравнений преобразования отрезок оси f от точки f = 0 до точки f = 1 можно использовать в качестве единицы масштаба, откладываемого как вдоль оси t так и вдоль оси х'. Таким образом, по мере увеличения угла шкала длин и времен растягивается (или, что равнозначно, сами пространственные и временные отрезки как бы сжимаются)!

Рис. 2.3. Градуирование пространственной и временной осей системы отсчета ракеты. Сказанное соответствует следующему. При градуировке осей на рис. 2.3 была иображена

7 9 9

лишь одна инвариантная кривая вида t — х = а для а = 1. Если мы построим такие же кривые для а = 2, 3 и т.д., то на рис. 2.3 ось f они пересекут соответственно в точках 2, 3 и т.д., причем расстояния между точками пересечения кривой по этой оси будут равны между собой и в одинаковое число раз больше расстояний между точками пересечения этой же кривой с осью t.

Продолжая оси времени t и f вниз, а пространственные оси х и х' влево, мы завершим построение, учитывая теперь прошлое движение и движение в отрицательном направлении.

Если два события одновременны в лабораторной системе отсчета, они будут лежать на прямой, параллельной оси х лабораторной системы на диаграмме пространства-времени (рис. 2.4). Если два события одновременны в системе отсчета ракеты, они будут лежать на прямой, параллельной оси х системы ракеты на диаграмме пространства-времени. Поэтому два наблюдателя не обязательно считают одновременными одни и те же пары событий. Это и есть относительная синхронизация часов.

2. Время и теория относительности

15

Рис. 2.4. Эффект замедления хода времени.

Используя линии одновременности на рис. 2.4, мы можем видеть, что для наблюдателя в системе отсчета ракеты часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, еще не показывают 1 ед. времени, когда t' = 1 ед. (т. е. лабораторные часы отстают). Вместе с тем для наблюдателя в лабораторной системе отсчета часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, уже показывают больше 1 ед. времени (т. е. отстают часы на ракете). Это и есть замедление хода времени.