1.3.2. Катастрофа сборки

(1.19)

-Г^ / 1 \ 14 1 2 т

F(x, a, b) = — x + —ах + bx, 4 2

где x - переменное состояние системы; a, b - управляющие параметры.

Критические вырожденные точки семейства F находятся из условия равенства нулю первой второй и третьей производных F соответственно:

(120) (1.21) (122)

dF 3 1 п

= х + ах + b = 0,

dx

d2 F 2

3х2 + а = 0,

dx

6х = 0.

d 3F dx3

Из (1.21) можно найти сечение катастрофы сборки в плоскости (х,а), которое представляет собой параболу (рис.

а = - 3х2. (1.23)

Подставим (1.23) в (1.20), получим сечение катастрофы сборки в плоскости (х, в) (рис. 1.4,б)

(124)

b = 2х .

Решая систему уравнений (1.23) и (1.24) относительно х получаем бифуркационное множество (рис. 1.4,в):

4а3 + 27b2 = 0 (1.25)

Бифуркационное множество это множество точек поверхности, обладающие двойственностью функции - область неустойчивости системы.

Когда параметры системы (точка D на рис. 1.4), плавно изменяясь, пересекают бифуркационное множество, то система скачком переходит из одного состояния устойчивого равновесия - х1 в другое - х2 AF = F(x1) - F(x2).

Xk D Xi 'Л' r 1 1 1 1 1 1 AF X2 1 1

а

ak /

D \ (х1,х2) /

?

у- Л b

б а

г

Р и с. 1.4. Поверхность равновесия катастрофы сборки а - общий вид катастрофы сборки; б - возмущение функции; г - бифуркационное множество; д - кривая равновесия

Стохастический характер причинности и бифуркационные механизмы ведут к широкому многообразию различных форм организации живой, неживой материи и общества. Это приводит к росту сложности системы. Таким образом, процесс самоорганизации ведет к непрерывному росту организационных форм.

При объединении элементов и переходе от микро уровня к макро уровню, происходит образование новой структуры, обладающей специфическими качествами. Появляются новые системные качества, не выводимые из свойств объектов более низкого уровня.

Процесс развития нашего мира на всех его уровнях есть процесс непрерывного возникновения и разрушения новых систем и организационных структур.