1.3.1. Катастрофа складки
13
F(x, a) = 3 x + ax, (115)
где x - переменное состояние динамической системы; а - управляющий параметр системы.
График катастрофы складки представлен на рис. 1.3, а. В точке (0,0) функция имеет перегиб. При возмущении функции F(x,a) управляющим параметром а получим два возможных состояния системы:при а > 0 функция не имеет критических точек (система устойчива); при а<0 функция имеет две критические точки (система неустойчива)
aa
x1 — ^
2 - 'Л/ „ (1.16)
3, x2 1 3
Вырожденная критическая точка х = 0 функции F(x,a) рассыпается на две невырожденные под действием возмущения a<0. В этом состоит неустойчивость катастрофы складки.
Критические и вырожденные точки этого семейства находятся из условия равенства нулю первой и второй производных функции F(x,a) по х. При этом получаются уравнения
L =
dF
(1.17)
= 3х2 +а = 0,
dx
d2 F
(1.18)
dx
2 ~бх = 0.
Кривой равновесия L катастрофы складки является множество точек (х,а) на плоскости удовлетворяющих уравнению (1.17), (ветвь параболы) (рис. 1.3,б).
Х
Х
0
а
L
а
б
Р и с. 1.3. Катастрофа складки: а - возмущение функции; б - кривая равновесия катастрофы складки
Верхняя часть параболы отвечает точкам локального минимума, а нижняя - точкам локального максимума функций.