ТРУДНОЕ ВОСПРИЯТИЕ НОВОГО  

Однако кроме этих общих оценок современные Грассманам математики и логики - да и следующее поколение специалистов, пожалуй, тоже - мало что могли по существу высказать о под&ходе Г. Грассмана. Даже Ф. Клейн в своих «Лекциях» не нашел по данному поводу ничего сказать, кроме того, что Грассман «занимается также и основаниями арифметики. Он был одним из первых, кто стал исследовать основные свойства обычного счета»[197]. Отсутствие надлежащей исторической перспективы приводило к тому, что Г.

Грассмана (младшего брата обычно и не упоминали) считали просто представителем «формального направления в математике»[198]. Интересно в связи с этим просле&дить, как вводились арифметические операции математиками XIX века (мы ограничимся только несколькими примерами, от&носящимися к математике в Германии). Раскроем вышедшую в 1822 г. книгу М. Ома, брата известного физика, в которой, сог&ласно Г. Ганкелю, предпринята попытка «формального изложе&ния арифметических операций»[199]. Хотя книга Ома[200] претендует на то, что в ней развернута «вполне последовательная» система арифметики, мы не найдем здесь рекурсивных определений арифметических операций: сложение натуральных чисел, на&пример, определяется так: а + b означает число, которое имеет столько единиц, сколько их имеют оба слагаемых а и b вместе[201]. А теперь обратимся к труду самого Г. Ганкеля, относящемуся к 1867 г., т.е. появившемуся после публикации грассмановской «Арифметики». На страницах своего сочинения Ганкель дает высокую оценку вкладу Г. Грассмана - «гениального ученого», как он говорит, - в те разделы математики, которые являются предметом изучения в его, Ганкеля, книге; однако о Грассмано- вом рекурсивном подходе он говорит очень глухо и без какой- либо оценки:

Применение общих принципов отвлеченного учения о формах к обык&новенному учению о величинах, происшедшему от повторения определен&ное число раз одного и того же какого-либо объекта, Грассман дает в сво&ем соч. «Lehrbuch der Arithmetik fur hohere Lehranstalten» (Berlin, 1861)[202].

Неудивительно, поэтому, что в задании арифметических опе&раций Ганкель остается вполне на «дограссмановской» ступени: используемые им определения сложения, умножения и других операций арифметики натуральных чисел даются вполне «по Ому». «Если взять числовую единицу а раз, потом b раз, затем то, что мы при этих операциях получили, соединить в одно, то полу&ченный результат (а + Ь) называется суммою наших отдельных операций»[203].

Если такой математик, как Ганкель, не понял прин&ципиального значения рекурсивных определений[204]' то что же можно было ожидать от математиков рангом ниже?! Ясно, что в таких сочинениях, как книга Р. Бальтцера[205] (вышла первым из&данием в 1865 г.) нечего искать рекурсивного задания операций арифметики. И только Э. Шредер принял во внимание подход Грассманов. Правда, он, так сказать, сочетает старое с новым. В его «Учебнике арифметики и алгебры», вышедшем из печати в 1873 г.[206], определения типа тех, которые давал М. Ом, относятся к способу изложения материала, названному Шредером «незави&симым» (independent), т.е. не предполагающим подробных доказа&тельств и во многом опирающимся на интуицию; этому способу противопоставляется рекурсивное - рекуррентное (recurrent) - из&ложение, которому, говорит Шредер, мы обязаны Г. Грассману и которое с точки зрения строгости («основательности» - Griindlichkeit) не оставляет желать лучшего. И основные опера&ции арифметики (натуральных чисел) - сложение, умножение и возведение в степень - так и излагаются: сначала в особом разде&ле производится описательное («независимое») введение опера&ции сложения, затем следует раздел «Сложение в рекурсивном изложении», и т.д. Если учесть, что во вводной главе «Учебника» Шредера обильно используются теоретико-множественные пред&ставления, то трудно избежать впечатления определенной «мате&матической эклектичности» его автора.

Итак, Э. Шрёдер понимал значимость грассмановского нова&торства в арифметике, хотя, конечно, не мог предвидеть перспек&тивности идей братьев Грассманов как источника нового общема&тематического и общелогического подхода, означавшего карди&нальную новацию в философии математики и ее основаниях. Но Шрёдер был скорее исключением, чем правилом. Даже в книге О. Штольца[207], вышедшей двенадцать лет спустя после появления «Учебника» Шредера, - книге, автор которой во Введении изла&гает элементы общего учения о величинах по Г. Грассману (а на самом деле, скорее, по Роберту, хотя ссылки на него отсутству&ют), - сложение и умножение (натуральных) чисел определяются так же, как это делали Ом и Ганкель.

Здесь стоит отметить рабо&ту Германа Гельмгольца «Счет и измерение с теоретико-познава- тельной точки зрения», вышедшую в 1887 г.[208] Великий естество- испытатель широчайшего диапазона научных интересов зани&мался также вопросами философии математики; поначалу его привлекли «факты, лежащие в основании геометрии» (мемуар 1868 г.), к которым он подходил, по его собственным словам, с «эмпирических» позиций. От геометрической аксиоматики он пе&решел к аксиоматике арифметики, и в работе 1887 г., формули&руя эту аксиоматику, обратил внимание на труды Г. и Р. Грассма&нов. Он писал: «Далее, чем прочие арифметики, работы которых мне известны, пошли в исследовании об аксиомах арифметики Герман и Роберт Грассман, рассматривавшие при том вопрос с философской точки зрения». Гельмгольц оценил важность как рекурсивных определений операций над числами (говоря, прав&да, лишь о соответствующем определении сложения, которое он назвал «аксиомой Грассмана»), так и «способа перехода от п к п + 1». Хотя предложенная Гельмгольцем аксиоматика тео&рии натуральных чисел и далека от совершенства - грассма- новское построение в его целом он охватить не смог - и хотя его аксиоматика теории чисел представляла собой странную смесь предложений, относящихся и к отношению равенства, и к операциям над числами (причем одни его «аксиомы» оказы&вались следствиями других), интуиция вела его в правильном направлении.

Но Гельмгольц не был профессиональным математиком[209]. И мы должны констатировать, что только знаменитая работа Рихарда Дедекинда 1888 года[210] вполне утвердила в математике рекурсивные определения и индуктивные процедуры.

Заметим, что задания арифметических операций в терминах «количеств» или «множеств единиц» непосредственно не являют&ся конструктивными, хотя построение алгоритмов, их реализую&щих, не составляет труда (в качестве примера можно указать на алгоритм сложения натуральных чисел на языке нормальных ал&горифмов Маркова). Суть дела, однако, в том, что для их конст- руктивизации с ними нужно было связывать какой-либо алго&ритм (хотя бы последовательного счета сначала одного, а потом другого «количеств»), рекурсивные же определения конструктив- ны (алгоритмичны) по самой своей природе[211].

Но ясно это стало далеко не сразу. Лишь после того как в XX столетии сложилась общая теория алгоритмов и исчислений, возникла и глубоко про&никла в «ткань» оснований математики теория рекурсивных функций, появилась машинная математика, кибернетика и ин&форматика, стало очевидным, насколько установка Г. и Р. Грасс&манов опережала свое время. В самом деле, зачем математикам прошлого века нужна была фактически «машинная» трактовка системы целых чисел как индуктивно порождаемых слов в огра&ниченном алфавите знаков, над которыми выполняются эффек&тивно задаваемые преобразования?! Ведь даже такой ученый - специалист по логике и основаниям математики, как Хао Ван, аксиоматически реконструируя в пятидесятых годах XX века арифметику целых чисел Грассманов, не подчеркнул ее конструк&тивистской составляющей[212].

Ко времени, когда философско-математическому миру стали известны работы Г. Грассмана, в математике и логике утверди&лись теоретико-множественные представления. В их рамках ре&курсивным определениям и индуктивным, доказательствам не придавалось того значения, которое они неизбежно приобретают при конструктивистском взгляде на математику и логику. Более того, последовательное развитие теоретико-множественного сти&ля мышления, приводящее к «математическому платонизму», ставило под сомнение значимость самого приема рекурсии. Если математические объекты объективны настолько, что не зависят от математических конструкций, то рекурсивные процедуры те&ряют основополагающее значение. Именно с этих позиций Г. Фреге в § 6 своего труда 1884 года «Основания арифметики» подверг критике грассмановское определение, содержащееся в № 15 книги 1861/1862 г. В этом определении, указал Фреге, «сумма» определяется через самое себя, так как под а + Ъ предла&гается понимать такой член основной последовательности, для которого справедлива формула а + (Ь + е) = а + Ь + е. Но смысл выражения а + (Ь + е) = а + Ь + ене понятен, если мы предвари&тельно не поняли смысла выражения а + Ь. Правда, положение можно, как будто, исправить, указав (чего, говорит Фреге, Г. Грассман не делает), что определяется не «сумма», а операция сложения. Но тогда, по мнению Фреге, можно выдвинуть другое возражение: а + Ь будет «пустым знаком» - лишится значения, ес&ли в основной последовательности совсем не окажется элемен&тов, которые удовлетворяют сформулированному Г. Грассманом условию, или в нем найдется несколько (различных) элементов, ему удовлетворяющих. То, что это на самом деле не может иметь места, утверждает Фреге, автор «Учебника арифметики» прини&мает без доказательства, так что строгость всей процедуры ста&новится кажущейся.

Эти возражения Фреге убедительны только в том отношении, что Г. Грассман в своем определении не различает явно операцию сложения и ее результат - сумму двух чисел (неразличение опера&ций и их результатов в такого рода контекстах, действительно, постоянный дефект грассмановского изложения; он наблюдается и в «учении о величинах» Роберта Грассмана). В остальном они основаны на недоразумении: «условие № 15 (взятое вместе с №№ 13 и 14, о которых Фреге не упоминает) позволяет эффек&тивно строить сумму а + Ь для произвольных величин. С точки зрения Г. и Р. Грассманов неприемлемо само фрегевское противо&поставление выражений (величин) и их значений (смыслов): для создателей «Учебника арифметики» и то и другое нераздельно, и величина а + Ь всегда имеет значение, а именно им оказывается определенный элемент о.п.