МЕТОДЫ ДОКАЗЫВАНИЯ  

= а + (Ь + -е-е) + -е = а + Ь + -е

далее это - самое первое в книге - последовательное доказатель&ство «проговаривается» в словесной форме; в дальнейшем такие объяснения уже отсутствуют.

Как известно, данный способ записи доказательств «с анали&зом» широко используется в наши дни.

Правда, в одном отноше&нии «анализ доказательств» у Грассманов не полон: в нем не от&ражены применения свойств отношения равенства, в частности, правила замены; в приведенном доказательстве на шаге 3 как раз и использовалась замена равным; Грассманы считали обращение к свойствам отношения одинаковости очевидным, так как они вытекают из определения равенства.

Кроме «последовательного» и «возвратного» доказательств к (О можно отнести то, что в книге названо «доказательством с помощью равенств»; состоит такое доказательство в сведении доказываемого равенства к равенству, которое было доказано ранее либо введено путем определения; например, при доказа&тельстве теоремы 29: а + b - b = а рассуждение заключается в том, что данное равенство сводится - с помощью правила замены рав&ным - к определению (№ 28) операции вычитания.

Доказательства типа (ii) - индуктивные доказательства, как они и называются в книге, - имеют у Грассманов совершенно чет&кую структуру: указывается величина, относительно которой производится индукция; формулируется и обосновывается индук&тивный переход, причем явно приводится индуктивное допуще&ние; и, наконец, доказывается базис индукции. При этом, однако, не приводится не только какой-либо «аксиомы полной математи&ческой индукции», но даже общего правила, определяющего структуру индуктивного доказательства (соответствующее пра&вило будет сформулировано Р. Грассманом лишь в работе 1872 года). Так, доказательство закона ассоциативности сложе&ния имеет вид:

22. а + (Ь + с) = а + b + с (далее следует соответствующая словесная форму&лировка. - Б.Б.).

Доказательство (индуктивное относительно с). Допустим, что формула 22 справедлива для какого-то значения с; тогда

а + [Ь + (с + е)] = а + [Ь + с + е]              (согласно 15)

= а + (Ь + с) + е              (согласно 15)

= <7 + /? + с + е              (согласно допущению)

= а + b + (с + ё)              (согласно 15Ь).[188]

Стало быть, если формула 22 справедлива для какого-либо значения, то она справедлива и для непосредственно следующего значения, а значит для всех по&следующих значений.

Равным образом при том же предположении:

а + [Ь + (с + - е)] = а + [Ь + с + - е]              (согласно 17)

= а +(Ь +с)+ -е              (согласно 17)

= а + Ь + с + -е              (согласно допущению)

= я + /? + (с + -е)              (согласно \1Ь)\

иначе говоря, если формула 22 справедлива для какого-либо значения с, то она справедлива и для непосредственно предшествующего значения, а следователь&но, для всех предшествующих значений.

Но она справедлива для с = е (согласно 15); следовательно, она справедлива вообще.

Как видим, данное индуктивное доказательство - как и все ин&дуктивные доказательства Г.

Грассмана, ведущиеся, как мы ска&зали бы теперь, по построению «основной последовательно&сти», - содержит два индуктивных перехода: по возрастанию чле&нов последовательности и по их убыванию.

Теоремы в Грассмановой «Арифметике» формулируются ли&бо в виде (общезначимых) равенств, либо в форме условных предложений, членами которых являются равенства; в последнем случае они нередко имеют четкую форму: «гипотеза» - «тезис» (такова, например, упоминавшаяся выше теорема № 27, а также теорема № 95 - гипотеза[189]: аР=0, а * 0: тезис: р * 0). При дока&зательстве такого рода теорем в первых параграфах сочине&ния 1861/1862 г. средства логики высказываний и предикатов фактически не используются. Положение, однако, меняется, когда появляются теоремы о существовании либо несуществова&нии объектов о.п., обладающих определенными свойствами, а также теоремы о структурах, изоморфных исходной о.п. (ср. тео&рему № 51). Здесь уже даются «словесные» формулировки тео&рем, а в соответствующих доказательствах неявно используются правила и схемы «обычной» логики, в частности схема доказа&тельства разбором случаев и правила обращения с выражениями «для всякого» и «существует». В качестве примера укажем на теорему, фигурирующую в № 26. Эта теорема выражает выпол&нимость операции вычитания (вводимой позже) для любых чле&нов о.п. - а и b и в современной логической записи имеет вид: Vfc3 х b = а + jc, где a, b, х - величины упомянутой о.п. Доказа&тельство ведется индукцией по величине b (при а в роли парамет&ра), базисом является равенство b - а, где а - произвольный эле&мент из о.п. (в этом случае в качестве х указывается 0); подразу&меваемое (но явно не формулируемое) обобщение по а заверша&ет доказательство. Начиная с теоремы № 95, формулировка кото&рой была приведена нами выше, появляются доказательства от противного - косвенные (indirekte) доказательства, как они име&нуются в книге. Так, в косвенном доказательстве теоремы № 114 используется допущение о существовании некоторого объекта и затем показывается, что он не может существовать. Доказатель&ства такого типа, поскольку в них доказывается (арифметиче&ское) равенство или бескванторная комбинация равенств, с совре&менной точки зрения являются конструктивными.

В целом можно полагать, что для о.п. и теории целых чисел дедуктивные средства, используемые Грассманами, не выходят за рамки конструктивной логики.