§ 16. Системы высших ступеней

Теперь, для того чтобы достигнуть соединения разнородных отрезков, предположим, что имеются два разнородных основных изменения, и пусть элемент первого основного изменения (или из&менения, ему противоположного) произвольным образом про&должает свое изменение, а затем этот, измененный таким спосо&бом элемент пусть также придет в произвольное движение, со&вершая второе основное изменение; так я получаю возможность из одного и того же элемента порождать бесконечное множество новых элементов.

Совокупность элементов, порожденных таким способом, я называю системой второй ступени. Затем я предпо&лагаю, что имеется некоторое третье изменение, в результате которого начальный элемент не приводится ни к какому элемен&ту упомянутой второй ступени, почему я и обозначаю его как из&менение, независимое от двух первых изменений. Пусть произ&вольный элемент второй ступени произвольно продолжает это третье изменение (или ему противоположное), тогда совокуп&ность порожденных таким способом элементов образует систему третьей ступени; а поскольку этот способ порождения по своей сути никак не ограничен, я могу на этом пути придти к системам сколь угодно высоких ступеней.

При этом важно иметь в виду, что все уже порожденные та&ким способом элементы нельзя рассматривать как заданные ка- ким-либо иным способом[109] - их надо считать изначально порож&денными, и поскольку они порождены с помощью различных из&менений, все они оказываются - в соответствии с нашей трактов&кой - отличными друг от друга. С другой стороны, ясно, что коль скоро элементы построены, они становятся уже данными, и воп&рос об их различии или тождестве можно решать не иначе, как возвращаясь к первоначальному способу их порождения.

Теперь, прежде чем перейти к нашей задаче, т.е. к соединени&ям различных способов изменения, я хочу обратиться за помо&щью к геометрической наглядности. Так как ясно, что система второй ступени соответствует плоскости, а плоскость мыслится порожденной, когда все точки некоей прямой линии приводятся в движение в некотором новом направлении, которого в ней не бы&ло (или в направлении противоположном), причем именно тогда вся совокупность порожденных таким образом точек образует бесконечную плоскость, поэтому плоскость оказывается сово&купностью параллелей, и все они пересекают некоторую данную прямую. Но эти параллели не пересекаются между собой и не встречаются второй раз с заданной прямой, поэтому все получен&ные таким способом точки различны, и, следовательно, наша ана&логия оказывается полной. Таким же путем можно прийти ко все&му бесконечному пространству как системе третьей ступени, если точки, лежащие на плоскости, привести в дальнейшее движение - в новом направлении (или направлении ему противоположном), не лежащем на данной плоскости. Но дальше геометрия идти не может, в то время как абстрактная наука не знает границ.

§ 16. Системы высших ступеней

Еще по теме § 16. Системы высших ступеней :