РАЗВИТИЕ ГРАССМАНОВСКОЙ ЛОГИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ
Напомним: возникновение конструктивистских концепций в дедуктивной логике ныне прочно - и по праву - связывается с именем Брауэра. Этот голландский математик и философ, основоположник «неоинтуиционизма», решительно порвал с многовековой философско-логико-математической традицией, отвергнув логическое в мышлении как основу математическо&го. Брауэр положил начало традиции, отличной от логической классики, - развил воззрение, согласно которому логика следу&ет за математикой и имеет отношение не столько к мышлению, сколько к языку как способу фиксации результатов умственно&го конструирования (построения) - конструирования, которое он считал непосредственным предметом математики. Классиче&ская логика, по Брауэру, пригодна только для изложения результатов умственного конструирования, относящегося к конечным совокупностям; она не приложима к совокупностям бесконечным - бесконечным потенциально (никакой иной бес&конечности, кроме потенциальной, он не признавал).
В работе «Интуиционистская теория множеств» Брауэр следующим образом объяснял происхождение «веры» в закон исключенно&го третьего. Исторически сложившаяся, классическая логика (признающая закон исключенного третьего) возникла путем отвлечения от свойств конечных множеств; в последующем этой логике было «приписано существование, не зависящее от математики, и в конце концов на основании этой мнимой апри&орности она была незаконно применена к математике беско&нечных множеств»[93].В нашу задачу не входит рассмотрение интуиционистской концепции логического, получившей первое явное представле&ние в формализмах В.И. Гливенко и А. Гейтинга[94], которые были разработаны лишь в конце 30-х годов XX в. Для нас сущест&венно отметить следующее.
Интуиционистская (и конструктивная) логика, поскольку она надстраивается над интуиционистской (конструктивной) математикой, развертывается - как и последняя - с помощью индуктивно-рекурсивных процедур, покоящихся в конечном счете либо на интуиции целого положительного числа (интуи&ционизм), либо на абстракции конструктивного объекта и кон&структивного процесса (конструктивизм). Для конечной предметной области (областей) подобное построение логики не требует пересмотра принципов классической логики, как это и подразумевалось Брауэром; в этом случае, конечно, «проходит» и гильбертовский финитизм, причем в его самом узком смысле. Интуиционистская (конструктивная) логика, далее, предполагает определенную интуиционистскую или конструктивистскую семантику как совокупность спо&собов истолкования смысла суждений, в частности матема&тических.
Все эти положения в той или иной мере были предвосхище&ны в логической теории, разработанной Германом и Робертом Грассманами, теории, которая, как мы знаем, впервые излага&лась последним в работе 1872 г. Логика строилась Р. Грассма- ном индуктивно-рекурсивно; объемы понятий - а в соответст&вии с немецкой философской традицией логика понималась как «учение о понятиях» - предполагались конечными; подразуме&вавшаяся при этом семантика заключалась в понимании объе&мов понятий как конечных «сумм» элементов. Разработанная братьями в качестве одной из ветвей «общей теории форм» или «учения о величинах» в своей основе в 1855-^56 гг., она была изложена Робертом лишь спустя 16 лет в небольшой книжке.
В 1890 г. им было выпущено несравненно более подробное из&ложение логики.Логика 1890 г. получила типографское воплощение в двух вариантах: в качестве составной части многотомного труда «Система знания» и в форме отдельной большой книги, переиз&данной в 1900 г. Хотя основы грассмановской математико-логи&ческой теории при этом не менялись - что и оправдывает пере&вод более краткой работы 1872 г., предложенной вниманию чи&тателя, - в труде 1890 г. были восполнены все лакуны, имевши&еся в прежнем кратком изложении логики.
Внешне логика, как она изложена в работах Р. Грассмана (в частности, в работе 1872 г.), выглядит аналогично логике традиционной, подразделяясь на три части: 1. «Образование по&нятий», 2. «Образование суждений» и 3. «Образование умозак&лючений»; но в этой «традиционности» были заключены сов- сем не традиционные представления. В части I грассмановской логической теории строится булева алгебра, причем так, что сначала выводятся все законы, определяющие дистрибутив&ную решетку, и лишь после этого производится ее сужение до булевой алгебры. Это напоминает современные алгебро-логи- ческие построения, но отличается от подхода современных Р. Грассману представителей алгебры логики (Ст. Джевонс, Э. Шрёдер): они вводили дополнения (т.е. отрицания понятий) на раннем этапе логического формализма и тем закрывали путь к построению (а значит, к изучению) решеток безотноси&тельно к булевой алгебре.
Р. Грассман как логик интересен совсем не теми сторонами своего творчества, какие мы ценим, скажем, у Дж. Буля и Э. Шредера. Он интересен именно тем, что развивал такой под&ход к логике, который был в его время явным исключением. Вместо обычного аксиоматического (или близкого к таковому) задания набора постулатов, из которых извлекались дальней&шие равенства и неравенства «логической алгебры», он базиро&вал логику в конечном счете на рекурсивных определениях и доказательствах по индукции (не применяя даже доказательств от противного) - он «надстраивал» ее над «теорией величин».
На этом пути Р. Грассман обосновывал то, что другие предста&вители алгебры логики принимали аксиоматически. Данный подход был собственным изобретением братьев Грассманов - изобретением, не имевшим аналогов в предшествующих алгеб- ро-логических исследованиях XIX в.Рассматривая протоконструктивистскую установку Г. и Р. Грасс&манов с учетом их подхода к логике, их стремление после&довательно проводить свою концепцию «строгого знания», мы приходим к выводу: их логические построения были единст&венными в своем роде не только в XIX столетии. Математики XX века долго не помышляли о том, чтобы строить логику специально для конечных множеств, хотя подобная идея была бы естественной после выдвижения Л.Э.Я. Брауэром в 1907 г. идеи о существенном различии логик конечного и беско&нечного.
Только А.А. Марков, насколько нам известно, по сути дела возродил подход Р. Грассмана, когда в своих лекциях по матема&тической логике, читанных в Московском университете (60-70 гг.), желая продемонстрировать механизм классической логики предикатов и вместе с тем не нарушать принципов кон- структивизма, вводил конечную область определения предмет&ных переменных[95]. Это влекло за собой конечность множеств как объемов понятий (если воспользоваться терминологией Р. Грассмана и всей современной ему математической логики). В этом - одна из существенных линий, связывающих Роберта (и Германа) Грассмана с «неклассической» логикой наших дней.
Б.В. Бирюков, Л.Г. Бирюкова