МЫШЛЕНИЕ, ЯЗЫК И ТЕОРИЯ ВЕЛИЧИН. РЕКУРСИВНО-ГЕНЕТИЧЕСКАЯ УСТАНОВКА  

Исходным является взгляд на «учение о формах» как на задаю&щее законы «строго научной» связи величин - законы, приме&нение которых исключает смешение понятий и ошибочные умозаключения; основными при этом являются понятия вели&чины как объекта, обладающего лишь одним (а не многими) значениями, и представление о связи величин, также обладаю&щей одним, и только одним, значением.

Однозначность - это то, что отличает величины и их связь от выражений обычного языка, которые многозначны и измен&чивы по смыслу; от понятий повседневного мышления, разгра&ничение которых нередко затруднительно и которые в ходе работы мышления могут менять свои значения; и от вещей внешнего мира, также подверженных изменениям. Поскольку многозначность и изменчивость характеризуют также и (грам&матические) предложения, как результат связи слов языка, мысли (как то, что возникает из связи понятий) и отношения (между вещами) - «любые два человека понимают их по-разно- му, и именно благодаря этому создается многообразие различ&ных взглядов»[74] - все они тоже не могут рассматриваться в качестве величин. Величины создаются самим «систематиче&ским мышлением» и фиксируются с помощью определенных знаковых средств.

В чем же специфика соотношения грассмановских (одно&значных) величин и средств естественного языка? Анализируя соответствующие взгляды Р.

Прежде всего Р. Грассман подчеркивает, что построение теории величин не предполагает опоры на законы естественно&го языка. Отмеченные выше свойства языковых выражений и понятий содержательного мышления, не облеченных в строгие «формы», делает эти выражения и понятия непригодными в ка&честве основы «теории форм». Однако совсем без применения (обычного) языка в учении о формах обойтись все же нельзя, так как теория форм (величин) для своего уяснения требует ис&пользования средств языка; эти средства нужны также для то&го, чтобы договариваться относительно знаков для величин и знаков их связей (соединений). Но договоренность эта, вместе с сопутствующим ей пониманием смысла знаков теории величин, относится, по мнению Р. Грассмана, только к введению в учение о формах, а не непосредственно к его развертыванию.

«Строгое учение о формах», которое нельзя развивать «по законам языка», тем не менее требует от человека, его усваива&ющего, владения языковыми средствами и достаточно развитой способности мышления; «последняя должна предварительно произрасти, должна развиться и созреть, прежде чем она сдела&ет возможным разумение строгости во всей ее полноте»[75]. Для этого человек должен овладеть языком, научиться различать свойства и действия, постигать внешние и внутренние взаимоза&висимости вещей и действий; таково необходимое условие чет&кого различения и правильного употребления величин и их свя&зей. Поэтому в процессе обучения теория языка (Sprachlehre - грамматика) должна предшествовать учению о формах; только после того, как понята структура языка, а в его использовании достигнута надлежащая уверенность, возможен переход к «тео&рии форм» как к строгой науке (переход этот, считает Р.

Итак, хотя «учение о формах (величинах)» не нуждается в предварительном задании законов языка, так как в своем раз&вертывании не прибегает к языковым формам, для овладения этим учением язык необходим. В этом смысле учение о языке, по Р. Грассману, предшествует учению о величинах. Поэтому, когда в результате разработки своей концепции мышления и логики - в рамках задуманного им грандиозного построения «системы человеческого знания» - Р. Грассман опубликовал в 1875 г. свое «Учение о мышлении»[77], в этом сочинении изложе&ние учения о языке предваряло учение о формах мышления;

то же имело место и в самой «Системе науки»: учение о языке излагается в первой половине первого тома, а теория величин - во второй его половине.

Далее. Учение о формах, согласно Р. Грассману, должно развить всеобщие законы мышления: «надлежит, чтобы все, что есть или может стать предметом мышления, могло сделать&ся и предметом учения о формах, а также чтобы каждую связь [связывание, сочленение] в мышлении можно было понимать и как некоторую связь в учении о формах»[78]. Теория форм как «строгая наука» должна быть, таким образом, общезначимой и поэтому независимой от характера того или иного языка; по&скольку обычные языки могут сильно отличаться один от дру&гого, для теории форм необходимо введение новых знаковых средств: «для каждой величины и каждого соединения надо ус&тановить некоторый особый [eigens] знак, который (...) имел бы только одно значение и делал бы невозможным недоразуме&ния»[79]. В силу этого развертывание учения о формах произво&дится с помощью формул и уравнений (равенств), связывающих формулы: «доказательство, которое осуществляется только на словах и которое нельзя передать формулами, является в уче&нии о формах ошибочным, вводящим в заблуждение»[80]. Однако каждая формула или равенство может быть выражена некото&рым предложением (Sats) - теоремой (Lehrsatz) и облечено в слова.

Но это высказанное словами предложение есть лишь перевод [на обычный язык] равенства, выражаемого формулами, и не может содер&жать ничего, кроме того, что было в равенстве и обозначено формулами.

Делает ли это излишним словесное представление теорем и доказательств теории форм? Отнюдь нет.

Всякое сообщение мыслей происходит на языке, так же как и всякое мышление; стало быть, если мы хотим передать другим учение о формах, обсудить значение какой-то формулы или же только подумать о ней, мы должны сделать это на [обычном] языке; с другой стороны, если учение о формах надо применять к предметам мышления и языка, это возможно, только если данная формула переведена на язык. Перевод формул на язык нашего народа [in die Sprache unseres Volkes] есть поэтому важное упражнение, особенно для начинающих, и поэтому он должен произво&диться при каждом доказательстве[82].

Наконец, язык и выражаемое его средствами мышление служат сферой применения самого учения о формах. Дело в том, что, согласно концепции Р. Грассмана, теория форм (вели&чин) вносит в языково-мыслительную деятельность ту точ&ность, строгость, которая в ней самой - вне математики и логи&ки - отсутствует. Внесение это достигается путем перевода на естественный язык формул и уравнений теории форм - пере&вода, придающего возникающим в его результате языковым выражениям ту четкость и определенность, которые без него были бы для языка недоступны. Ибо словесные определения, касающиеся величин и операций над ними, предложения, или теоремы, говорящие о величинах и уравнениях величин, задачи и их решения, а также словесные доказательства - все это по&сле упомянутого перевода становится однозначным; поэтому «словесный перевод учения о формах представляет собой по&лезное и в высшей степени творческое занятие»[83].

Однако словесное представление «теории форм», начиная с ее базиса - общего учения о величинах, на естественном языке предполагает, по мнению Р.

Новый подход к делу требует, если мы хотим быть научно строги, так&же и новых искусственных слов. Например, только в случае такого способа связывания, как умножение [Multiplication], - пишет Р. Грассман во Введе&нии в «Учение о величинах» 1872 г., - мы познакомимся: в учении о величи&нах - с тремя его видами [Arten], в учении о понятиях и о числах - с одним в каждом из них, в учении о соединениях и в учении о внешнем - с четырьмя в каждом из них, а всего, стало быть, с тринадцатью видами. Было бы нена&учным обозначить все эти различные виды одним и тем же словом «умно&жение»; (...) стало быть, надо вводить новые названия[84].

Имея в виду задачу «продвижения науки в народ» - ведь Р. Грассман с самого начала своей педагогической, а потом ин&тенсивной научно-литературной деятельности стремился актив&но выполнять просветительские функции, как он их понимал, - создатель теории величин считает необходимым выработку не&мецких языковых форм для этих «искусственных выражений»; это, по его мнению, сделает их «общими для науки и народной школы»[85]. И Р. Грассман вступает на тернистый путь слово&творческой деятельности. Он придумывает множество новых терминов - существительных и глаголов, пользуясь богатством немецких приставок, позволяющих в одном гнезде слов варьи&ровать некий общий смысл. Как убедится читатель, проводи&мые терминологические разъяснения сопровождаются (в под&строчных примечаниях) этимологическими комментариями, основанными на данных сравнительного языкознания: Р. Грасс&ман сопоставляет предлагаемые им немецкие выражения с лин&гвистическими формами санскрита, греческого и латыни, шваб&ского и англо-саксонского языков, с древне- и нововерхнене&мецкими выражениями и т.д. Напомним, как в самом начале «Учения о формах» 1872 г. поясняется этимология - и через нее смысл - немецкого слова «форма»:

Форма [Form] представляет собой заимствованное латинское слово forma, а последнее - заимствованное, путем замены букв, греческое тог- phe.

Величины, полагаемые в качестве первоначальных, Р. Грассман называет штифтами - Stifte (от глагола stiffen - устанавливать, упорядочивать, основывать), что он считает соответствующим латинскому elementum (отсюда другое наиме&нование «штифтов» - элементы) и греческому stoicheion. Для связей величин вводится целый набор выражений, рази&тельно отличающихся от общепринятых. Хорошее представле&ние об этих терминологических новациях дает таблица видов соединений теории величин, помещенная на с. 24 труда 1872 г. - «Учения о формах»[87].

Излишне, пожалуй, говорить, что попытка Р. Грассмана переделать на псевдонародной основе терминологию современ&ной ему науки была обречена на неудачу; она только отпугива&ла читателец, затрудняя понимание грассмановских идей.

Между тем идеи эти не были тривиальны, поскольку предвосхи&щали некоторые примечательные черты таких сложившихся много позже, в XX столетии, направлений в основаниях матема&тики, как интуиционизм и конструктивизм.

Как известно, основоположник интуиционистской концеп&ции в философии математики Л.Э.Я. Брауэр исходил из тезиса о, так сказать, отделенности математического знания от языка, на котором это знание выражается, будучи уверенным в том, что математика и логика не предполагают формулировки мыс&лительных закономерностей в качестве предварительного условия своего развития. Провозглашая в качестве истока математиче&ского знания то, что в философии называется интеллектуаль&ной интуицией, - в форме интуитивно данного процесса мыс&ленного порождения натуральных чисел, интуиции, на которой основываются умозаключения по схеме математической индук&ции и т.п. умственных актов, сводящихся к умозрительно- наглядному осуществлению «очередного шага построения», - он продолжал и развивал здесь ту «антилогицистскую» линию, которая в философии математики связана с именами Р. Декар&та, И. Канта и А. Пуанкаре. Но, как оказывается, и Роберта Грассмана - тоже! Ибо в основе математики (и логики), соглас&но последнему, лежит, говоря интуиционистским языком, «интуиция величины».

В самом деле. Вдумаемся в те идеи, которые, согласно изло&жению Р. Грассмана, данному в 1890 г., были заложены им в «учении о величинах» 1872 года:

Предпосылкой учения о величинах является один только человече&ский дух с его способностью мышления, т.е. способностью мысленного полагания и связывания сколь угодно многих величин. При этом совер&шенно безразлично, что ум пожелает положить в качестве величины; он может положить что угодно, но при условии, чтобы каждая величина, ко&торую он полагает, была однозначна... так, чтобы ее нельзя было спутать с другими величинами (...). Величины, которые полагает ум, не рассмат&ривая их состоящими из других величин, мы называем простыми, или эле&ментами. Каждая простая [величина] при этом может иметь сколь угодно много частей (...) любая вещь, любое представление и любое понятие, ко&роче, любое, какое угодно нечто, все, что есть или может быть предме&том мышления, может быть полагаемо в качестве простого. Однако ум может также полагать простую величину, еУ без всякого содержания, только опираясь на то положение, что для данного мыслительного акта она должна быть не сложной, а простой, и в этом состоит строго научное понятие простого в учении о величинах. Тогда, если заданы различные простые [величины] ej, е2, ет то они должны обозначаться и имено&ваться различно (...). В свою очередь связь величин может обозначить любое, какое угодно соединение или связывание величин, какое только возможно для человеческого ума, коль скоро оно имеет одно, а не много значений. В учении о величинах дело идет совсем не о том, что собой представляет некоторое связывание; в нем интересуются только тем, какой закон должен действовать для данной связи[88].

Как и математика в понимании Л.Э.Я. Брауэра, учение о формах (величинах) Р. Грассмана не требует предварительной формулировки «законов мышления», отличных от тех, кото&рые устанавливаются в теории величин в качестве общих для всех ветвей «строгого мышления»; учение о формах, читаем мы в самом начале цитированного выше труда 1872 года,

не нуждается в предположении других законов мышления; ибо в против&ном случае каждое нарушение этих последних законов делало бы оши&бочным и ненаучным также и учение о формах; следовательно, оно (...) не может развертываться по законам и в формах языка. Одним словом, оно предполагает только способность людей к мышлению, только возможность строго научного мышления, зрелых, четко мыслящих людей[89].

Как же происходит развертывание учения о величинах? Оно совершается в ходе рекурсивно-генетического процесса, начинающегося с полагания штифтов, или элементов, и устано&вления способов связи возникающих из них величин; процесс ведет к построению все более сложных форм (величин, фор&мул), исследуемых на равенство.

Берется некоторая формула, для нее отыскивается некоторая равная ей, для последней снова отыскивается равная ей формула, и так до тех пор, пока не будет найдена формула, относительно которой мы хотим доказать, что она равна исходной. Процесс, таким образом, состоит только в полагании величин, их связывании и в преобразовании этих связей в связи или формулы, которые имеют другой вид, во равны [исходным][90].

Итак, все величины в «учении о величинах» считаются - благодаря «способности мышления», обусловливающей все ви&ды связывания, «возможные для человеческого ума», - постро&енными в нем самом и в нем же однозначно определенными. Именно потому, что ничего другого, кроме этой, как можно вы&разиться, генетически-однозначной определенности, от вели&чин (понимаемых в самом широком смысле) не требуется, их теория, т.е. законы, которые относительно них могут быть ус&тановлены, оказывается, согласно концепции Р. Грассмана, применимой к любым процессам мышления.

Трактуя теорию величин - эту общую часть всех «ветвей» математики и логики - как последовательное развертывание умственных конструкций, порождающее объекты, рассматри&ваемые, как теперь говорят, с точностью до различения и отождествления, в отвлечении от всякого конкретного содер&жания, и фиксируемые с помощью четко опознаваемых знаков, Р. Грассман выступил в качестве предтечи позднейших фини- тизма и конструктивизма.