ПЕРЕПЛЕТЕНИЕ (ИЛИ УМНОЖЕНИЕ), СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ СВЯЗИ  

в случае двух величин, вместо того чтобы к одной из них при&бавлять штифт, или элемент, можно к изделию из обеих вели&чин прибавить изделие из данного штифта и другой величины.

Переплетаемые величины называются отделами, или сомно&жителями, изделие, полученное в результате переплетения, на&зывается тканью, или продуктом.

Знаком переплетения является точка или просто написание отделов друг за другом; этот знак читается «раз» [«mal»].

Единичностью [Eins] называется такой штифт, или элемент, который может быть переплетен с любым штифтом, не меняя значения последнего.

49. Основная формула переплетения (умножения в широком смысле)

(а + ё) Ъ = ab + eb a(b + e) = ab + ae.

Вместо прибавления штифта к одному из отделов, или сомножи&телей, можно к продукту обоих отделов прибавить продукт этого штифта и другого отдела.

50 а. е • 1 = е 1 е = е.

Единичность, переплетенная с произвольным штифтом, не меня&ет его значения.

50 Ь. 1.1 = 1

Единичность есть такая величина, которая не меняется от пере&плетения с самой собой.

51.а- 1 = 1 а = а

Единичность, переплетенная с произвольной величиной (или пе&ремноженная с ней), не меняет ее значения.

Доказательство: Для штифтов, или основное относительно а.

1. Данное предложение справедливо, если а содержит только один штифт (согласно 50).
2. Если это предложение справедливо для произвольной вели&чины а (допущение), то оно справедливо и для величины а + е, со&держащей на один штифт больше (заключение); ибо

(я + • 1 = я • 1 + е • 1 (согласно 49)

= а + е              (согласно допущению и в силу 50).

3.

52. Закон переплетения (умножения в широком смысле).

В любой связи величин посредством переплетения (умножения в широком смысле) можно, не меняя значения, как угодно ввести или удалить плюсовую скобку и удалить все скобки, выражаю&щие отношение.

Если ввести отношение каждой штуки одного отдела, или сомножителя, с каждой штукой другого и сложить получен&ные продукты, то в результате получится снова штифтовая величина.

Доказательство: В силу 49 справедлива основная формула простого отношения; следовательно, в силу раздела 6 справедлив закон отношения в той форме, как он сформулирован в № 52, но поскольку, кроме того, действует прибавление, то, согласно раз&делу 7, плюсовые скобки также можно произвольным образом расставлять и удалять.

53. О • я = 0 и а • 0 = 0.

Нуль, переплетенный с любой величиной, дает нуль. Доказательство:

ab = a(b + 0)              (согласно 43)

= ab + а0              (согласно 52).

Следовательно, а 0 есть величина, которая, будучи прибавлена к величине ab, не меняет ее, т.е. а 0 есть нуль (согласно 41).

54. Определение.
    Переплетение называется: пршглетением [Anweben], если имеет место отношение, но не

объединение отделов, или сомножителей,

заплетением [Einweben], если помимо отношения имеет место объединение трех штифтов, являющихся отделами, или сомножи&телями,

сплетением fVerweben], если, кроме отношения, имеет место как объединение, так и перестановка штифтов, являющихся от&делами, или сомножителями.

55. Основная формула заплетения (умножения в среднем смысле)

В продукте трех штифтов (произведении трех элементов) в слу&чае заплетения факторную скобку можно как поставить, так и удалить.

56. а(ех е2) = а е{ е2

В продукте, или произведении, одной величины и двух штифтов в случае заплетення факторную скобку можно как ввести, так и удалить, или: вместо заплетення некоторой величины в продукт из двух штифтов (произведение двух элементов) ее можно запле&сти последовательно со штифтами.

Доказательство посредством формул: для штифтов, или ос&новное относительно а.

1. Данное равенство справедливо, если а состоит ровно из од&ного штифта (согласно 55).
2. Если это равенство справедливо для некоторой произволь&ной величины а (допущение), то оно справедливо и для ве&личины а + е3, которая содержит на один штифт больше (заключение); ибо:

(іа + е3) (ех е2) = а(е{ е2) + е3(ех е2) (согласно 52)

= а ех е2 + еъ ех е2 (согласно допущению и в

соответствии 55)

= (а + е3)ех е2<

3. Следовательно, согласно 19, это равенство справедливо в общем случае. Доказательство словесное: Величина а есть сумма штифтов, продукт (ех е2) есть штифт, согласно 31.
   Тогда, в соот&ветствии с 52, продукт а(ех е2) есть сумма, все штуки (слагаемые) которой являются продуктами трех штифтов. В каждом из них, в соответствии с 55, скобки можно как поставить, так и удалить, поэтому удалим их. Наконец, во всех этих продуктах два послед&них штифта ех е2 одинаковы, в соответствии с 52, их первые штифты можно снова свести в сумму [т.е. вынести ех е2 за скобку], и они дадут исходную величину а. Но тогда эта величина оказы&вается последовательно заплетенной с обоими штифтами.
3. a (b е) = a b е.

В продукте, или произведении, двух величин и одного штифта (элемента) в случае заплетення факторную скобку можно как ввести, так и удалить, или: вместо заплетення некоторой величи&ны с продуктом, или произведением, состоящим из одной величи&ны и одного штифта, ее можно последовательно заплести с вели&чиной и штифтом.

Доказательство посредством формул: для штифтов, или ос&новное относительно Ь.

1. Данное равенство справедливо, если b состоит из одного штифта (согласно 56).

2. Если данное равенство справедливо для некоторой величи&ны Ь (допущение), то оно справедливо и для величины Ь + еї9 ко&торая содержит на один штифт больше (заключение); ибо:

а [ф + е{) е] = a[b е + ех е]

= аф е) + а(еj ё)