Раздел 1 ОБРАЗОВАНИЕ ПОНЯТИЙ

1. Определение. Учение о понятиях, или логика (logike), есть одна из частей учения о формах, и для нее справедливы следую&щие определения учения о величинах.

Величиной называется все, что есть или может стать предме&том мышления, коль скоро оно имеет только одно, а не несколь&ко значений.

Знаком величины является буква. Одна и та же бук&ва в одном и том же параграфе учения о понятиях всегда обозна&чает одну и ту же величину; в остальном каждая буква может обо&значать любую, произвольно взятую величину. Следовательно, предложение, доказанное для некоторой буквы, справедливо для любой величины, которую может обозначать эта буква, т.е. для любой, произвольно взятой величины.

Штифтом, или элементом, называется величина, полагае&мая в качестве исходной, которая, стало быть, не возникла по&средством связывания с другими величинами. Буква е есть знак элемента. (Исходные элементы Вселенной - это созданные Бо&гом физические тела, вечные существа и одухотворенные сущест&ва; из их комбинаций состоит вся Вселенная)18*.

Связью [связыванием, сочленением - Kniipfung] называется любая комбинация или соединение величин, поскольку оно имеет только одно, а не много значений. Один и тот же связующий знак в одном и том же параграфе учения о понятиях всегда обознача&ет одну и ту же связь; в остальном связующий знак, если для него не установлено ничего другого, может обозначать произвольно взятый вид связи. Предложение, доказанное для некоторого свя&зующего знака, справедливо поэтому для любого, произвольно взятого вида связи19*.

Скобка есть знак того, что величины, заключенные в скобку, должны быть связаны в некоторую целостность, прежде чем их можно будет связать с величиной, находящейся вне скобки. Если налицо много величин без скобок, то они должны считаться свя&занными последовательно, одна за другой20", т.е. предполагается, что сначала первая величина связана со второй, а потом каждый раз получаемая целостность сочленена непосредственно с после&дующей.

Две величины называются равными, если в любой связи одну из них можно заменить другой без изменения данного значения.

Знаком равенства является знак =. Две величины называются не&равными, если ни в одной связи одну нельзя заменить другой, не вызвав изменения данного значения. Знаком неравенства являет&ся знак

Штифтовые, или элементарные величины, т.е. величины, об&разованные посредством последовательного прибавления (сум&мирования), называются в учении о понятиях - понятиями (horos, katalepsis, notio, conceptus). Отделения, или сомножители, называ&ются признаками, или отличиями (nota, differentia)22*. Знак приба&вления (суммирования) в учении о понятиях читается «и», а знак умножения, которое здесь понимается как добавление новых при&знаков, читается «раз» [«mal»] [«жды»]ь; в языке признак выра-

b Определение. Понятием называется логическая величина, для которой выпол&няются все основные формулы логики.

Признак, или определяющая черта [определение понятия, называется отде&лением или сомножителем данного понятия (...)

Определение. Различные части, составляющие понятие, образуют его со&держание.

Понятие называется большим но объему или более широким по сравнению с некоторым другим понятием, если оно имеет больше элементов, чем это жается определительной формой (именем прилагательным) или определительным предложением (придаточным предложением - определением)23*.

В учении о понятиях, или логике, тоже действуют основные формулы и выводимые из них законы учения о величинах; это значит, что без изменения значения:

каждую плюсовую и факторную скобку можно любым обра&зом вводить или удалять, а порядок частей (слагаемых) и при&знаков (сомножителей) любым образом изменять24*;
каждую скобку, выражающую отношение0 можно удалить, пе&ремножив каждую часть [каждое слагаемое] одного признака с каждой частью [слагаемым] другого25*;
нуль (0) можно прибавить к любой величине (сложить с любой величиной), а единичность (1) - перемножить с любой величи&ной без изменения данного значения; продукт, или произведе&ние, любой величины и нуля есть ноль;
результат любого соединения снова является понятием, или элементарной величиной.

В учении о понятиях, или логике, действуют следующие особые законы:

сумма и произведение двух равных штифтов (элементов) в свою очередь есть тот же самый элемент, и
произведение, двух различных штифтов, или элементов, есть нуль*.

е + е = е, е • е = е, е, • е2 = 0.

Понятийная сумма и понятийное произведение26* двух равных элементов в свою очередь есть элемент, причем тот же самый.

последнее - меньшее по объему или более узкое понятие.

Понятие называет&ся более богатым по содержанию, чем некоторое другое понятие, если оно оп&ределяется меньшим количеством признаков, и более бедным - в противном случае (Die Logik, 1890. S. 51). с Определение 55. Скобка называется факторной, если величины в скобке пере&множаются; скобка называется выражающей отношение, если величины вну&три скобки связаны сложением, сама же скобка умножена на величину, нахо&дящуюся вне скобки.

Примеры. Факторная скобка: а(Ьс)\ скобки, выражающие отношения, - аф + с), (а + c)b, (а + b)(c + d) (Die Logik, 1890. S. 28). d Определение. В любом соединении, где относительно какой-либо связки гово&рится, что она является логической, она заключается в скобку и тут же указы&вается значение этого, т.е. что заключенная в скобке связка «логическая». В «Логике», где всякая связка является логической, это указание отбрасывается как нечто само собой разумеющееся (Die Logik, 1890. S. 41).

Понятийное произведение двух различных элементов есть нулье.

5. Закон, относящийся к равенству, или тождеству:

а - а, а + а = а, а а = а.

Каждое понятие равно самому себе. Сумма и произведение двух равных [одинаковых] понятий есть то же понятие'.

Доказательство а. Пусть а = е{ + е2 + ... + еп,

тогда а + а = (ех + е2 + ... + еп) + (ех + ег + ... + еп)

= (ех + ех) + (е2 + е2) + ... + (еп + еп) (согласно 2) = ех + е2 + ... + еп, (согласно 4)

= а.

Доказательство Ь. Пусть а = ех + е2 + ... + еп, тогда а а = (ех + е2+ ... + еп) (ех + е2+ ... + еп) = ехех+ехе2 + ... + е}е/

сл

+Є->Є\ +е2е2 + ... + е7е,

(согласно 2 или № 50 учения о величинах)

(согласно 4, так как ехе2 = 0) (согласно 4, так как е • е = е)

= ехех + е2е2+ ... +еяея = ех + е2 + ... + е„ = а.

2сп

Примеры. Понятие человека не изменится, если я присоеди&ню к нему понятие человека, - оно остается тем же понятием че&ловека.

Аналогично, человек, который есть человек, есть не что иное, как человек: иначе говоря, понятие человека не изменится, если ввести определение, что человек должен быть человеком, - оно остается тем же понятием человека.

е Предложение 51.

ех +е2 ?0 (Die Logik, 1890. S. 27).

f Предложение 50. Допущение: а + Ъ = 0, следствия: а = 0и? = 0(...)

Доказательство. Имеет место

а = а + 0 [по свойству нуля]

= а + (а + Ь) согласно допущению

= (а + а) + b [в силу ассоциативности сложения]

= а + b [в силу № 5]

= 0 (согласно допущению).

[Аналогично доказывается и следствие b = 0]. (Die Logik, 1890. S. 27).

Гербарт выражает это предложение так: «Два понятия не могут быть совершенно одинаковы [равны], но каждое наличе&ствует как бы только в единственном экземпляре. Однако в мышлении одно и то же понятие может повторяться; его мож&но вызывать много раз, при самых различных обстоятельствах, воспринимать исходящим от бесчисленных разумных существ, и в результате этого не происходит воспроизведения понятия во множестве экземпляров». «Введение в философию», 4-е изда&ние, § 3527*.

Sxпа - а РХпа = а.

Каждая сумма и каждое произведение равных понятий в свою очередь являются понятием, причем тем же самым.

Доказательство а. Поступательное, или индуктивное, отно&сительно SXna.

Если SX na содержит только две части [два слагаемых], то а + а = а (согласно 5)28*.
Если SX na содержит п частей [слагаемых], то, поскольку SX na = а (допущение), окажется что и Sl na + а = а (заключение); ибо:

Sl na + а - а + а (согласно допущению)

= а (согласно 5)

Стало быть, предложение в соответствии с № 18 учения о величинах справедливо для всех сумм SX na = а.

Доказательство Ь. Совершенно аналогично п. 2 получаем, что РХпа = а.

(Закон противоречия). Если а и b не имеют ни одного обще&го штифта (элемента), то имеет место:

а • Ь = 0.

Произведение двух понятий, у которых нет ни одного общего элемента, есть нуль.

Доказательство.

Поскольку понятия а и b не имеют ни одно&го общего элемента, то положим

а-ех +е2 + + Ь = е[ + е'г + ..?'т, где все элементы различны; тогда имеем:

(согласно 2 или № 50 учения о величинах)

= ехе[ + ехег + ... + ехе'т Л +е2е'х+е2е'2 + ... + е2е'т

= +е2+... + *„)(* i' + ^+... + О = 0 (согласно 4)

Пример. Жук, который является млекопитающим, - это ни&что; аналогично, животное, являющееся растением, - это ничто, и таково же млекопитающее, являющееся рыбой. Поэтому кита (Balaena L.)29* нельзя назвать китрыбой - Wallfisch, а черепаху - Schildkrote нельзя назвать жабой - Krote и т.д. Множество искус&ственно образованных выражений и названий нуждаются, поэтому, в преобразовании, так как в выражаемых ими понятиях содер&жится противоречие. В томе моей «Системы знания», в котором рассматривается описание природы30*, все эти ошибочные назва&ния удалены и вместо них введены названия, которые построены правильно.

8. Сумма двух понятий есть сумма всех различных штифтов, или элементов, в этих понятиях содержащихся^, или:

Если с обозначает сумму тех элементов из b, которые не со&держатся в а, а принадлежат только Ь, то а + b = а + с, и наоборот, если а + b = а + с, то все элементы, которые не содержатся в а,

8 Предложение 52. В логических науках, поскольку суммируются одинаковые величины, не может быть никакого вычитания и никаких отрицательных ве&личин.

Доказательство. Допустим такую отрицательную величину а, что а - а = 0 (допущение); мы получим:

а = а + 0 [по свойству нуля]

= а + (а - а) (согласно допущению)

= (а + а) - а [по ассоциативности сложения]

= (а - а) (согласно № 5)

= 0 (согласно допущению).

Все математики, трактовавшие логику с помощью формул, - все, кроме Р. Грассмана, - вводили в логику вычитание и отрицательные величины.

Од&нако это введение было чревато заблуждениями и открывало путь каким угод&но логическим ошибкам, например, отождествлению любой величины а с лю&бой, произвольно выбранной величиной Ь, так как согласно предложению 52 получалось, что а = 0 = Ь. Вдобавок к этому согласно 52 все величины логики становились нулями. Следовательно, получалось, что по своей силе логика есть нуль, т.е. что она вообще несостоятельна. Введение в логику отрицатель&ных величин воэтому недопустимо с научной точки зрения (Die Logik, 1890. S. 27)31*.

а принадлежат только либо величине b, либо величине с, являют&ся общими обеим величинам b и с32*.

Примеры. Понятие «необразованные и безнравственные люди» охватывает в точности те же самые существа, что и по&нятие «необразованные [и] безнравственные образованные люди». [Понятие] «Имущие и знатные» охватывает в точности тех же людей, что и «имущие и неимущие знатные».

Доказательство. Если понятие d содержит все элементы, ко&торые являются общими для а и Ь, и никаких других, то положим:

а = ах+ d b = d + с,

где ах, d и с не имеют общих элементов; тогда имеем:

а + b = (ах + d) + (d + с)

Раздел 1 ОБРАЗОВАНИЕ ПОНЯТИЙ

Еще по теме Раздел 1 ОБРАЗОВАНИЕ ПОНЯТИЙ: