(1)
(2)
... ах И be
есть шар (центр которого есть а, а радиус - b с)> а ... ах К Ъх
означает плоскость (которая проходит перпендикулярно отрезку аЬ и делит его пополам) как геометрическое место точек х. Но, поскольку посредством шара и плоскости (да и одного шара) вы&водятся все конструкции пространства и тем самым - все виды пространственных зависимостей, то, следовательно, упомянутый выше принцип должен быть плодотворным для каждого про-
странственного анализа.
Таким образом, выражения (1) и (2) можно воспринимать как определения шара и плоскости, откуда следует, что только на их основании может быть возведено все здание геометрии. Формулу (2) можно воспринимать как геомет&рическое место центров кругов, которые проходят через фикси&рованные точки а и Ь. Точно так же формула
(3)
ах 8 Ьх 8 сх
дает прямую линию как геометрическое место центров всех ша&ров, которые проходят через три точки а, Ьу с. Наконец, круговые линии оказываются линиями пересечения двух шаров, следова&тельно, их выражение есть
(4)
или, сокращенно abx Н abc.
Отсюда видно, как можно было бы все свести к выражению по&средством шара. Поэтому такое построение геометрии, основан&ное на выражении (4), могло бы показать высокое научное значе&ние единства и простоты указанного принципа. Все же, если бы я хотел обесценить основные достоинства такого построения нау&ки, это увело бы меня далеко от намеченной цели. Мне было бы необходимо вывести все требуемые предложения и провести до&казательства, а такое исследование всегда исключительно трудо&емко. Но я, наоборот, хочу подтвердить применимость предло&женного Лейбницем метода вычислений к решению двух фунда&ментальных задач геометрии - отысканию прямой линии, прохо&дящей через две данные точки, и плоскости, проходящей через три данные точки. Пусть сначала требуется найти прямую, прохо&дящую через две данные точки а и Ь. Тогда она должна быть най&дена в форме выражения (3), в которое вместо а, b, с следовало бы ввести точки а1, bl9 с1, не лежащие на этой прямой линии. То&гда получаются формулы
ахх И Ъхх Н с1*, аха 8 Ьха 8 сха alb И ЬХЪ И с*с,
которые в совокупности определяют прямую линию как геомет&рическое место точки х. Две последние из этих строчек конгру- энтностей можно свести в одну
аЪ& 8 abb1 8 abcK
Эта конгруэнция выражает тот факт, что вспомогательные точ&ки я1, bl9 с1 лежат на окружности, плоскость которой пересекает&ся перпендикуляром ab в центре окружности.
Точно так же получается выражение плоскости, проходящей через три точки a, b, с, не лежащие на одной прямой.
Так как это выражение должно иметь вид (2), то необходимо взять две вспо&могательные точки а1 и ft1, и так как а, Ь, с, х должны лежать на плоскости, проходящей через эти вспомогательные точки, то мы будем иметь такие четыре формулыа*х И Ых
а*а И Ыа -
ахЪ И ЫЬ .
а*с И Ыс. .
Три последние конгруэнции могут быть сведены к одной, а именно к конгруэнции abca1 8 abcbK Тогда в качестве формул для плоскости, проходящей через точки а, Ьу с, имеем
(6)
(впрочем, последняя конгруэнция составлена из трех конгруэн- ций и выражает факт, что а1 и Ьх симметричны относительно abc).
Если бы возникло желание придать требуемую простоту сис&темам формул (5) и (6), то надо было бы быть в состоянии изба&виться от произвольных вспомогательных точек, с которыми по смыслу задачи ничего не нужно делать, а систему формул всякий раз приводить к одной-единственной. Сразу же видно, что в обо&значениях Лейбница, насколько они им развиты, этого сделать невозможно. Ибо, если пожелать оставить его обозначения, то легко видеть, насколько возрастет множество формул в случае мало-мальски сложной задачи, и какое множество элементов придется принять во внимание, в которых в случае обычной зада&чи нет никакой надобности.