§ 39. Аристотелевское доказательство Af-закона экстенсиональности

В вышеприведенном последнем отрывке Аристотель говорит, что он доказал закон экстенсиональности для возможности. По существу, он аргументирует так: Пусть а возможно, а р невозможно; тогда, когда а, как возможное, произошло бы, а р, поскольку оно невозможное, не произошло бы, и, следовательно, а может про-изойти без р, однако это противно посылке, что если есть а, то есть и р .

Аристотель определяет случайное как то, что не является необходимым и предполагаемое существование чего не заключает в себе ничего невозможного .

Александр усваивает это аристотелевокое определение случайности применительно к возможности, опуская слова «что не необходимо». Он говорит: «что р, которое невозможно, не может следовать из а, которое возможно, может также быть доказано из самого определения возможности... возможно то, предполагаемое существование чего не заключает в себе ничего невозможного» К Слова «невозможно» и «ничего» требуют здесь осторожной интерпретации. Мы не можем интерпретировать «невозможное» как «то, что не возможно», потому, что таковое определение будет с кругом; мы должны или взять «невозможное» в качестве основного термина, или, взяв «необходимое» в качестве основного, определить «невозможное» как «то, что не возможно», потому, что не р». Я предпочитаю второй путь и буду обсуждать новое определение на базе L-основной модальной логики. Слово «ничего» должно быть представлено с помощью квантора общности, так как в противном случае определение не будет правильным. Мы получаем, таким образом, эквивалентность:

QMpnqCCpqNLNq.

В словесном выражении это означает: «Возможно, что р — если и только если — для всякого q, если (если р, то q), то не необходимо, что не q».Эта эквивалентность должна быть добавлена к L-основной модальной логике как определение Мр вместо эквивалентности 1, которая должна быть теперь доказана в качестве теоремы.

Эквивалентность 28 состоит из двух импликаций:

CMpllqCCpqNLNqи 30.

Из 29 мы получаем посредством теоремы CTIqCCpqNLNqCCpqNLNqи гипотетического силлогизма следствие:

CMpCCpqNLNq;

а из 31 с помощью подстановки q/p, Срр, коммутации и отделения легко вывести импликацию CMpNLNp. Обратная импликация CNLNpMp, которая, будучи объединена с исходной импликацией, дает эквивалентность 1, не может быть доказана иначе, чем посредством закона экстенсиональности для L: CCpqCLpLq.Так как это доказательство довольно сложное, даем его полностью.

Посылки:

18. CCpqCLpLq

24. CCpqCCqrCpr

CIlqCCpqNLNqMp

CCpqCNqNp

CCpCqrCqCpr

Вывод:

18. p/Nq, q/NpX 34

CCNqNpCLNqLNp

24. pICpq, qlCNqNp, r/CLNqLNp X C32-C34-35

CCpqCLNqLNp

pjLNq, q/LNp X 36

CCLNqLNpCNLNpNLNq

p/Cpq, q/CLNqLNp, r/CNLNpNLNq X C35—

C36 —37

CCpqCNLNpNLNq

p/Cpq, q/NLNp, r/NLNq X C37 — 38

CNLNpCCpqNLNq

/729 X 39

3*. CNLNpHqCCpqNLNq

p/NLNp, q/riqCCpqNLNq, r/MpXC39~

C30—40

CNLNpMp

Теперь мы можем доказать и закон экстенсиональности для М,что было целью рассуждения Александра. Этот закон легко получается из эквивалентности 1 и положения 37. Мы видим, кроме того, что доказательство посредством определения о кванторами без необходимости усложнено. Оно достаточно, чтобы сохранить определение 1 и добавить к L-системе L-закон экстенсиональности, для того чтобы получить М-закон экстенсиональности. Таким же путем мы можем получить L-закон экстенсиональности, если мы добавим М-закон экстенсиональности к М-системе и определению 2. L-система дедуктивно эквивалентна М-системе как с законами экстенсиональности, так и без них.

Конечно, в высшей степени невероятно, чтобы античный логик мог придумать такое точное доказательство, как данное выше. Однако сам факт, что доказательство правильно, проливает яркий свет на аристотелевские идеи относительно возможности. Я полагаю, что он интуитивно чувствовал то, что может быть кратко выражено следующим образом: что возможно сегодня — скажем, морское сражение,—может осуществиться или стать действительным завтра; но то, что невозможно, никогда не может стать действительным. Эта идея, по-видимому, лежит в основе доказательств Аристотеля и Александра.