10. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

Принцип сжатых отображений иллюстрирует применение понятия полноты метрических пространств.

Метод последовательных приближений, широко используемый в анализе для доказательства теорем существования и единственности решения различного рода уравнений, в рамках функционального анализа приводит к принципу сжатых

- 28 -

отображений, называемому иначе принципом неподвижной точки Каччиополи -Банаха или просто

Теорема Банаха : Пусть в полном метрическом пространстве дан оператор , переводящий элементы пространства снова в элементы этого же пространства.

Пусть для любых 2-х точек и выполняется неравенство:

, (*)

где и не зависит от выбора и . Тогда существует одна и только одна точка такая, что .

Точка называется неподвижной точкой оператора .

Доказательство:

Возьмем произвольный фиксированный элемент и положим:

Покажем, что последовательность - фундаментальная.

- 29 -

Т.к. , то .

Откуда, в свою очередь, следует, что .

Значит, последовательность сходится в себе. В силу полноты пространства Х существует элемент , являющийся пределом этой

последовательности. Докажем, что точка является неподвижной точкой оператора, т.е. что . В самом деле

В силу сходимости правая часть последнего выражения может быть сделана сколь угодно малой, т.е. можно положить при достаточно большом п:

.

Тогда . Так как произвольно, то , т.е. , что и требовалось доказать.

Покажем, что точка - единственная.

.

Если допустить, что >0, то получается, что , а это противоречит условию теоремы. Ч.Т.Д.

Замечание 1. Если перейти в формуле (1) к пределу при , то придем к оценке ошибки п - го приближения:

.

Эта погрешность убывает со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем . Кроме того, из найденной оценки

- 30 -

видно, что при одном и том же п точность приближения, как правило, тем лучше, чем ближе . Поэтому, если положение приблизительно

известно, то для вычислений выгодно взять х где-то вблизи . Тогда будет недалеко от х, а, следовательно, и от .

Замечание 2. Построение последовательных приближений , сходящихся к неподвижной точке можно производить, исходя из

. Выбор элемента х, как мы убедились, будет сказываться лишь на быстроте сходимости к своему пределу.

Замечание 3. Иногда приходится рассматривать отображение А такое, что условие сжимаемости теоремы (*) выполняется не во всем пространстве, а лишь в некотором замкнутом шаре. Тогда принцип сжатых отображений можно применять при дополнительном условии, что оператор А преобразует этот шар в себя и поэтому последовательные приближения не выходят из рассматриваемого шара. При этом можно сослаться на то, что замкнутый шар является полным метрическим пространством и, следовательно, все рассуждения сохраняются.