11. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

Пусть в п - мерном арифметическом пространстве отображение задано равенством:

,

где - квадратная матрица п - го порядка.

Найти условие разрешимости приведенной системы линейных алгебраических уравнений. Другими словами, требуется ответить на вопрос “существует ли неподвижная точка отображения и при каких условиях?”

Прежде всего проверим выполняются ли все условия теоремы Банаха.

- 31 -

1. Как известно, расстояние между векторами вычисляется по формуле:

.

Пространство будет полным, если в нем, согласно определения, будет сходиться любая фундаментальная последовательность.

Пусть - произвольная фундаментальная последовательность из :

при и р > 0,

для всех сразу. (*)

Последнее условие есть условие критерия Коши сходимости числовой последовательности к некоторому числу .

Полученные пределы при образуют вектор (), который является, очевидно, элементом пространства и пределом рассматриваемой фундаментальной последовательности. Действительно:

в силу условия (*).

Таким образом, - полное метрическое пространство.

2. Оператор отображает пространство в себя.

3. Проверим выполнение условия сжимаемости:

= . Если теперь предположить, что () (2), то мы окажемся

- 32 -

в условиях применимости принципа сжатых отображений, и, следовательно, оператор будет иметь единственную неподвижную точку.

Таким образом, мы получили теорему: Если матрица такова, что для всех i сразу, то система алгебраических

уравнений имеет единственное

решение ().

Это решение можно получить методом последовательных приближений, исходя из произвольного элемента .

Условие (2) есть достаточное условие сходимости метода последователь-ных приближений.

Упражнения.

1. Отображение А на полупрямой переводит каждую точку . Является ли отображение сжимающим? Имеет ли оно неподвижную точку ?

2. Пусть - функция заданная и дифференцируемая на отрезке , причем имеют места неравенства:

.

Будет ли уравнение иметь решение ?

3. В п - мерном евклидовом пространстве найти условие

разрешимости системы

.

4. Функция не имеет неподвижной точки, хотя для имеет место неравенство:

Нет ли здесь противоречия с теоремой Банаха ?

- 33 -