9. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

9.1.Последовательность называется сходящейся в себе (фундаментальной) в , если: для или .

Замечание: Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной.

Действительно, по неравенству треугольника:

.

Обратное утверждение верно только в полных метрических пространствах.

Например, в метрическом пространстве с метрикой числовой оси

последовательность не сходится в .

9.2. Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Пример: пространство - полно.

Пусть - произвольная фундаментальная последовательность. Для нее

для всех t сразу.

9.3. ТЕОРЕМА. Пусть в полном метрическом простран-стве Х задана последовательность, вложенных друг в друг замкнутых шаров: ,

- 25 -

радиусы которых . Тогда существует единственная точка , принадлежащая всем шарам последовательности.

Доказательство:

Пусть - последовательность центров шаров. Докажем, что эта последовательность

фундаментальная. Действительно, т.к. точка вместе со своим шаром вместе с - фундаментальная последовательность. Так как Х - полное метрическое пространство, то в Х существует точка

.

Далее, так как - замкнутое множество в Х и поскольку

Единственность докажем от противного: пусть - две точки, принадлежащие всем шарам, причем .

Тогда то что противоречит (1). Ч.Т.Д.

9.4.Множество называется всюду плотным в Х,

если любая точка есть предел последовательности элементов , то есть:

Иначе, Р всюду плотно в Х , если в любом шаре найдутся точки из Р. Очевидно, что

Пример: Множество рациональных чисел всюду плотно на числовой оси.

9.5.Метрическое пространство Х называется cепарабельным метрическим пространством, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Пример: Множество всех действительных чисел. Действительно, в нем счетным всюду плотным множеством является множество рациональных чисел.

- 26 -

9.6.Множество называется нигде не плотным в Х, если в шаренайдется другой шар и не содержащий ни одной точки множества .

Пример: Множество натуральных чисел N нигде не плотное множество на числовой оси.

9.7.Точка множества , не являющаяся предельной

точкой этого множества, называется изолированной точкой М.

Если множество замкнуто и не содержит изолированных точек,

то оно называется совершенным множеством.

Иначе говоря, для совершенного множества имеет место следующее равенство:

.

Примером совершенного множества может служить отрезок числовой оси или замкнутый шар евклидова пространства.

Упражнения:

1. Показать, что п- мерное евклидово пространство с расстоянием

является полным пространством.

2. Доказать, что пространство т - всех ограниченных числовых последовательностей - полное метрическое пространство.

3*.Доказать, что если - фундаментальная последовательность прост-

ранства М , то последовательность сходится для любого

элемента х пространства М.

4. Пусть - какое – либо ( полное или неполное) метрическое

пространство. Е его незамкнутое подмножество. Доказать, что Е -

неполное пространство.

5. Доказать, что подмножество полного метрического пространства

полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в .

6. Доказать, что сумма конечного числа нигде не плотных множеств на

числовой прямой является нигде не плотным множеством.

- 27 -

7.Какие из этих множеств являются совершенными:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) - пустое множество;

е) - множество натуральных чисел;

8. Всегда ли пересечение двух совершенных множеств является совершен-

ным множеством.

9. Доказать сепарабельность пространства .

10. Доказать сепарабельность пространства .

11. Пусть Р - всюду плотное множество на прямой. А - конечное подмножество множества Р. Доказать, что множество также всюду плотно на прямой.

12*.Существуют ли такие 2 всюду плотные несчетные множества на

прямой, пересечение которых пусто ?

13*.Привести пример последовательности всюду плотных множеств на

прямой таких, что , а их пересечение пусто,

т.е. .