Случайные блуждания

Рассмотрим самую простую на свете игру — в подбрасывание монеты. Предположим, что отсутствует плата за участие в игре. Тогда в результате подбрасывания одной монеты игрок выигрывает единицу капитала с вероятностью р= 1/2 и проигрывает единицу капитала с вероятностью q = 1/2.

Предполагаем теперь, что игрок последовательно подбрасывает монету несколько (возможно, бесконечно много!) раз. Тем самым задана (возможно, бесконечная) последовательность независимых случайных величин Χι, Х2,..., где индекс обозначает порядковый номер подбрасывания (или момент времени).

Тогда наиболее интересующий в каждый момент времени игрока во-

прос — каков его капитал, т. е.

где So — начальное значение капитала (в наших предположениях So = 0). Конечно же, речь о предсказании конкретного значения Sn не идет, но ниже будет достаточно простым способом показано, что некоторые вероятностные характеристики процесса игры могут быть определены достаточно простым образом. При этом будут использоваться лишь минимальные сведения из теории вероятностей и строгость будет иногда заменяться ссылками на интуицию.

Пусть А и В — два натуральных числа. Обозначим через т первый момент времени п (если таковой случится), когда Sn = А или Sn = —В. Этот момент называется моментом остановки и является случайной величиной со значениями в {0,1,2,...,оо}.

1. Один из наиболее естественных вопросов какова вероятность выигрыша (а не проигрыша) игрока, принявшего для себя в качестве критерия выхода из игры достижение уровня А или —В, т.

Поскольку все случайные величины X1, X2,... независимы, то выигрыш А единиц (а не проигрыш В единиц) при наличии капитала (к + 1) единиц после первого шага и при наличии (к + 1) единиц перед первым шагом равнозначны, т. е.

или

где Δf(k) = f(k + I) — f(k) — конечная разность.

Постоянство конечной разности, по аналогии с постоянством производной, подсказывает, что f(k) должна быть линейной функцией, f(k) = а + Рк. Так как очевидно, что f(A) = I, f(—B) = 0, то из системы

немедленно находим а и β и, значит,

Рассуждая, как и в предыдущем пункте, нетрудно понять, что вероятность остановки игры в момент I с капиталом т в момент времени

1 равна вероятности остановки игры в момент / — 1с капиталом т в момент времени 0, т. е.

или, обозначая через

вторую разность, получим

Используя опять аналогию со второй производной, находим, что общий вид решения полученного разностного уравнения есть

Замечаем теперь, что

Отсюда легко найти, что

Таким образом,

Отметим любопытное следствие формулы (4).

будем иметь

т. е. даже установив в качестве ограничения времени игры условие получения капитала размером +1 (стартуя с 0 и не ограничивая величины возможного проигрыша по ходу игры), среднее время такой игры будет равно +сю.

3. Вернемся теперь к доказательству того факта (использовавшегося в предыдущем пункте), что E (т) < +оо. Докажем даже больше, а именно, что

для всех d > О,

Обозначим через р вероятность выигрыша игрока А + В раз подряд, т. е. р = 2~(а+в\ Тогда из неравенства т > к(А + В) следует, что ни в одной из серий с момента j(A + B) до (j + 1)(Д + Б) — I, j = О, I,..., fc — 1, не имеет места выигрыш (А+В) раз подряд, т. е., с учетом независимости этих серий,

Получили, что

Вопросы и задачи

1. Опишите σ-алгебру, соответствующую описанному в этом параграфе случайному блужданию.

2. Примените метод анализа первого шага к нахождению E (т2).

3. Проделайте вычисления, аналогичные выполненным в пунктах 1 и 2, для нахождения тех же величин для случая «нечестной» игры, т.е. когда случайная величина X такова, что Р(Х = +1) = р; Р(Х = —1) = q и р < q.

2