Ганс Рейхенбах (Стамбул) ОБ ИНДУКЦИИ И ВЕРОЯТНОСТИ1

Замечания по поводу книги Карла Поппера лЛогика исследования»

I

B своей недавно опубликованной книге[156] Карл Поппер ставит перед собой задачу проанализировать методы науч­ного исследования и предложить решения проблем, яв­ляющихся центральным пунктом логического анализа по­знания - проблемы индукции и проблемы вероятности.

нужно иметь дело с расплывчатыми и образно-метафориче­скими ходами мысли, как это обычно случается во многих иных философских дискуссиях. Однако, признавая всю серьезность намерений автора, я вынужден выступить здесь против основного содержания книги Поппера, ибо результаты этой книги представляются мне совершенно неприемлемыми. Мне кажется, это связано с тем, что серь­езность намерений автора не соединяется со столь же серь­езным методом. Отнюдь недостаточно просто использовать логистические понятия. Когда речь идет о теоретико­познавательных проблемах, нужно позаботиться о приме­нимости этих понятий ко всем их следствиям и задать ме­тод, придающий достоверность логистического формализ­ма решению содержательных проблем. Можно шаг за ша­гом показать, как пренебрежением этим приводит Поппера к ошибкам. Конечно, это завело бы нас слишком далеко, если бы мы попытались рассматривать все идеи, содержа­щиеся в книге Поппера, поэтому я ограничусь выделением основных пунктов и их последовательной критикой.

Ha первом плане для Поппера стоит проблема индук­ции.

Ход его мысли можно представить приблизительно следующим образом. Теоретические утверждения естест­вознания не претендуют на истину; напротив, они выдви­гаются лишь в качестве пробных решений и сохраняются до тех пор, пока находят подтверждения, и отбрасываются, когда обнаруживается ихложность.

Однако я не хочу здесь обсуждать эту позитивную часть размышлений Поппера. Тот факт, что утверждения естествознания не претендуют на абсолютную истину и что они отбрасываются, когда сталкиваются с противоре­чащим им опытом, признается давно разрабатываемой мной теорией познания и, по крайней мере, уже в течение целого столетия с ним согласно большинство ученых. Ho что отличает подход Поппера от развиваемых мной воззре­ний, представлено в негативной части его рассуждений. Исходя из идеи изменчивости всякого знания, развивают мысль о том, что выдвижение гипотез как-то связано с ве­роятностными суждениями и что выдвижение гипотез и их критика опираются на вероятностные суждения. Ho вот эту мысль, на которую опираются и мои теоретико-позна- вательные работы, Поппер отвергает. Он видит ценность своих рассуждений как раз в том, что они устраняют поня­тие вероятности при обсуждении теоретико-познаватель- ных вопросов науки.

Конечно, мнение о том, что процесс научного познания не включает в себя понятия вероятности, представляется мне далеко не новым. Представители самых разных фило­софских направлений неоднократно развивали идею есте­ственнонаучного метода, обходящегося без понятия веро­ятности. Однако при более тщательном рассмотрении все­гда оказывалось, что устранение понятия вероятности про­исходит за счет определенной схематизации: если низкую вероятность приравнять к невозможности, а высокую веро­ятность отождествить с достоверностью, то легко придти K такому представлению о познавательном процессе, которое обходится лишь двумя альтернативными решениями.

K этому ошибочному выводу приходит и Поппер. Мож­но точно указать те пункты, в которых он использует ука­занную схематизацию, не замечая этого. Главными явля­ются следующие утверждения:

1. Метод фальсификации теории содержит понятие ве­роятности.

2. Метод выдвижения новой теории содержит понятие вероятности.

Ниже я хотел бы более подробно обсудить эти два пункта.

II

Большую роль у Поппера играет идея строгой фальси­фицируемости. Он исходит из того - и я уже давно защи­щаю эту мысль, - что научная теория никогда с уверенно­стью не может считаться истинной, однако он полагает, что при известных обстоятельствах теорию можно считать ложной. Для оправдания этого утверждения он ссылается на логическую форму общих высказываний. Общие выска­зывания естествознания относятся к тем случаям, которые заданы только экстенсионально. B математике, т.е. для ин­тенсионально заданных случаев, опираясь на определенные предписания, можно установить, является ли общее выска­зывание истинным. Ho в естествознании у нас есть только возможность просмотреть и проверить все случаи, о кото­рых говорит общее высказывание. Ясно, что для бесконеч­ного числа случаев это невозможно. Таким образом, по­скольку общие высказывания естествознания охватывают бесконечное число случаев, постольку такие высказывания невозможно верифицировать. Иначе обстоит дело с опро­вержением: для того чтобы опровергнуть общее высказы­вание, достаточно привести хотя бы один противоречащий ему случай. Вот на эту логическую асимметрию и опирает­ся теория Поппера: он считает, что научную теорию можно фальсифицировать, если указать случай, который ей про­тиворечит.

Однако легко показать, что эта верная сама по себе идея неприменима в естествознании. Дело в том, что когда в ес­тествознании говорят о факте, то это никогда нельзя ПОНИ- мать как абсолютно достоверное положение дел.

Таким образом, устранение понятия вероятности с по­мощью идеи фальсифицируемости оказывается возможным

лишь тогда, когда имеющиеся небольшие вероятности при­равниваются к нулю. Ho если принимают такого рода схе­матизацию, то вовсе не обязательно ограничиваться фаль­сифицируемостью, ибо при такой схематизации теории можно также верифицировать.

III

Теперь мы обратимся ко второму пункту его работы, в котором Поппер ошибочно считает, будто может устра­нить понятие вероятности. Оно относится к выдвижению научных теорий. Выше я ссылался как на общую для меня и Поппера мысль о том, что естественнонаучные предло­жения (гипотезы, теории) не могут утверждаться в качестве истинных предложений и что в дальнейшем при соответст­вующих обстоятельствах они могут быть отброшены. Ho, исходя из этого, я утверждаю, что выдвижение гипотетиче­ских предложений опирается на опыт, в котором играет не­которую роль понятие вероятности. Поппер это оспаривает. Я утверждаю, что имеющиеся наблюдения делают некото­рые предложения более вероятными, чем другие, и что именно данное ранжирование гипотез определяет приня­тие решений в естествознании. Так, например, сходства, существующие между различными видами организмов, и установленные палеонтологами связи между ископаемы­ми останками живых организмов и геологическими слоями делают вероятной гипотезу о происхождении видов от не­коего общего предка, так что теорию Дарвина можно счи­тать более вероятной по сравнению с теорией, утверждаю­щей сосуществование всех биологических видов с момента отвердения земли.

Я утверждаю, что при выдвижении научных теорий мы пользуемся методом индукции, что мы приписываем гипо­тезам некоторую вероятность, что вероятность гипотез, в принципе, носит тот же характер, что и вероятность со­бытий, и что для логической характеристики этого метода нам нужна логика, которую я разрабатываю под именем вероятностной логики. Поппер выступает против этих идей, и сначала я рассмотрю возражения, которые он вы­двигает против моей теории.

Поппер отличает «логическую вероятность» OT «число­вой вероятности» и утверждает, что теории логической ве­роятности, в отличие от теорий числовой вероятности, по­терпели крушение (с. IIO и l39). Понятие логической веро­ятности Поппер вводит следующим образом (с. l08): пусть P и R будут классами возможностей проверки двух теорий, т.е. классами контролируемых явлений, утверждаемых теориями. Может оказаться, что P является подклассом R; в этом случае теорию, утверждающую P9 Поппер называет «логически более вероятной», чем теорию, утверждающую R. Две теории, возможности проверки которых не находят­ся в отношении включения классов, Поппер называет несо­измеримыми. Легко видеть, что это очень бедное опреде­ление так называемой логической вероятности, ибо оно не позволяет определять степень этой вероятности и допуска­ет сравнимость лишь при очень узких условиях. Таким об­разом, термин «логическая вероятность» или также ис­пользуемый Поппером термин «степень фальсифицируе­мости» определены им неудовлетворительно, поэтому у него нет права употреблять эти понятия. И если все-таки он неоднократно употребляет эти понятия, то причина заклю­чается в том, что он подразумевает обычное понятие веро­ятности. Легко показать, что отношение порядка, введен­ное Поппером для логической вероятности, без всяких ого­ворок выполняется для обычной вероятности. Если P явля­ется подклассом Ry то R можно заменить логическим про­изведением P и Qy в котором Q представляет часть Ry не содержащую P. B исчислении вероятностей общим обра­зом доказывается неравенство[157]:

W(0,P.Q)Z W(O,P),

где O является общим первым членом для соответствую­щих вероятностей. Таким образом, при известныхусловиях удается доказать вероятностное неравенство на основе чис­то логических отношений, но это еще не дает никаких ос­нований для того, чтобы говорить о какой-то «логической вероятности», ибо логических отношений недостаточно для определения метрики. Кроме того, все обычные мани­пуляции понятиями в таких случаях показывают, что здесь нет ничего иного, кроме подлинной вероятности.

По-видимому, за выражением Поппера «логическая ве­роятность» кроется мысль о том, что в отношении степени вероятности высказывания о порядке можно отделить от метрических высказываний, как это возможно, например, для геометрических мер длины прямой линии. Такие вы­сказывания о порядке охватываются неравенствами, по­добными приведенному выше. Однако не следует думать, что здесь уже присутствует понятие вероятности, и было бы ошибочно предполагать, что при оценке вероятности теорий можно обойтись только высказываниями о порядке.

Попнер приводит еще один аргумент для опровержения моего утверждения о том, что вероятность гипотез тожде­ственна числовой вероятности. B моей теории вероятность приписывается не предложениям, а последовательностям предложений, и Поппер оспаривает мое утверждение о том. что гипотезы являются последовательностями предложе­ний. Он говорит о том, что гипотезы не имеют такого вида: «для каждого значения к имеет место: в пункте к происхо­дит то-то и то». Может быть, верно, что гипотезы действи­тельно не имеют такого вида, однако они имеют вид общих импликаций: «дпя всякого к имеет место: если в пункте к имеется свойство O9 то там имеется также свойство Р». Ес­ли, далее, к этому добавить еще тот факт, что для законов природы эти импликации никогда не являются строгими, а всегда лишь вероятными, то гипотезы получают как раз тот вид, который я придал вероятностным импликациям и опи­сал в следующей форме (УВ, п. 9):

(£) (хк є 0 z) ук є P)

p

Затем я показал (УВ, п. 7l, а также в более ранних пуб­ликациях о вероятностной логике), что от этого имплика- тивного истолкования вероятностных высказываний можно перейти к их предикативному истолкованию посредством вычеркивания из последовательности всех тех членов.

B которых неверно Xk є О. Поэтому мое утверждение O том, что гипотезы можно трактовать как последовательности предложений, остается справедливым.

Поппер считает бессмысленным то следствие, что гипо­тезе следует приписать вероятность 'A в том случае, когда каждый второй член последовательности предложений ей противоречит. Ho я не вижу здесь ничего бессмысленного. Рассмотрим последовательность бросков игральной кости и гипотезу «При броске кости выпадет 6». B отношении к последовательности бросков этой гипотезе присуща веро­ятность 1/6. Можно также поставить вопрос о вероятности гипотезы «Вероятность выпадения 6 равна 1/6». Вероят­ность последней гипотезы будет иметь, конечно, совер­шенно иное значение, однако его также можно определить чисто статистически, а именно, посредством вычисления в последовательности, элементами которой будут последова­тельности бросков кости. Оно определяется отношением числа тех последовательностей, в которых соблюдается частота 1/6, к общему числу последовательностей. Таким образом, вероятность гипотез есть не что иное, как вероят­ность более высокого порядка. Я придал ей логико- математическую форму в УВ, 8 раздел. Поэтому нет ника­кой трудности в том, чтобы вероятность гипотез истолко­вать как подлинную вероятность.

IV

K этому следует добавить еще несколько замечаний о вероятности теорий, которые могут дополнить краткие со­ображения, высказанные мной ранее по этому предмету, и устранить некоторые неясности, сохранившиеся при обсу­ждении этого вопроса. Можно предложить два способа оп­ределения вероятности некоторой теории. Прежде всего, можно подсчитать совокупность экспериментально прове­ряемых высказываний, принадлежащих теории, и вычис­лить среди них частоту подходящих высказываний; эта от­носительная частота может рассматриваться как мера веро­ятности теории. Здесь мы можем обозначить ее как веро­ятность первого вида. Во-вторых, теорию как некую идейную конструкцию мы можем включить в класс других идейных конструкций подобного рода, т.е. в класс других теорий, созданных учеными, а затем вычислять относи­тельную частоту в этом классе. Об этой вероятности мы будем говорить как о вероятности второго вида. Какую из этих двух вероятностей должны мы рассматривать в каче­стве вероятности теории?

Было бы ошибочно полагаться лишь на одну из этих ве­роятностей, поскольку обе они имеют один смысл и нужно только этот смысл сделать ясным. Возьмем в качестве при­мера квантовую теорию. Эта теория охватывает целый ряд групп высказываний, которые можно символически пред­ставить следующим образом:

q>\ (x,i).... ¢7) (x ,„) рг(х21) .... ^2 (х7т)

r, ^¾ (х]2) означа­ет: «Фотография дг 12 показывает спектральную линию на 669 рр» и т.д.; q>i (х2|) означает: «Счетчик Гейгера в мо­мент х2і показывает один удар», ^¾ (х22) означает: «Счетчик Гейгера в момент X22 показывает один удар» и т.д. Каждая горизонтальная последовательность будет обладать опре­деленным числом верных утверждений, которое мы можем истолковать как вероятность соответствия утверждения q + 5 = I; тогда w означает вероятность то­го, что вероятность квантовой теории располагается внутри определенного интервала г\ = 5 + I - q.

Для того чтобы определить эту вероятность и>, выска­зывание

?-5^(у)2? + 5

нужно объединить в один класс с другими, аналогичными высказываниями, тогда здесь появляется возможность пе­рейти к «классу научных теорий такого-то и такого типа».

Осуществление вычислений в этом классе является дос­таточно сложным. Искомая вероятность с идейной стороны представляет собой вероятность Баиеса\ в своей книге, п. 60 я представил эти соображения для теории индуктивного вывода, а затем, в п. 77 рассмотрел их в связи с методом коррекции. Речь идет о вероятности последовательности, частота которой после // членов располагается в интервале q ± 5, но при дальнейшем удлинении стремится к некото­рому пределу внутри этого интервала. Эту вероятность можно было бы вычислить посредством рассмотрения дру­гих научных теорий, вероятность которых располагается внутри интервала q ± 5, а среди них опять выделить более узкий класс таких, которые и в более позднее время оста­ются в рамках этой вероятности, т.е. сохраняются до на­стоящего времени. To, что при этих вычислениях пределы частоты не устанавливаются с достоверностью, а лишь «постулируются», не свидетельствует о своеобразии такой постановки вопроса, а справедливо также для всех других вычислений вероятности; см. УВ, п. 77.

Вот так возникает вероятность второго вида для кван­товой теории. Она понимается не как вероятность самой квантовой теории, но как вероятность того, что вероят­ность квантовой теории располагается в интервале rj или, короче, что квантовая теория верна в вероятностном ин­тервале 7|.

Таким образом, вероятности первого и второго вида яв­ляются вероятностями разных уровней, которые можно сравнить с уровнями приведенного выше примера: «При броске кости выпадает 6» и «Вероятность того, что при броске кости выпадет 6, равна 1/6». При обсуждении веро­ятности теорий эти два уровня обычно не различаются. Причина этого заключается в том, что теории рассматри­вают не с теоретико-вероятностной точки зрения, а лишь как истинные или ложные. Тогда нашему первому уровню соответствует группа высказываний, представленная в виде конъюнкции всех конкретных высказываний квантовой теории; второму же уровню соответствует высказывание «Квантовая теория истинна». Как известно, обычная логика нс проводит никакого различия между высказыванием а и высказыванием «а истинно»; это отождествление в логике не приводит к ошибкам, ибо если а истинно, высказывание «а истинно» также будет истинным. Однако в вероятност­ной логикс это различие существенно, ибо соответствую­щие вероятности, в нашем примере - q и vr, не зависят друг от друга и могут быть разными; см. об этом УВ, S. 317.

Вероятностная логика без особых затруднений говорит о вероятности теорий, и было бы совершенно ошибочно полагать, будто здесь речь идет о каком-то ином виде веро­ятностей. Возможно, какую-то роль в этом возражении иг­рает представление о том, что теория означает какой-то «единичный случай» и поэтому обращение к вероятности встречает трудности. Однако этот вопрос встает также и относительно событий и его можно обсуждать с помощью введенных мной понятий «постулирование» («Setzung») и «оценка» («Beurteilung») (УВ, п. 75). Упомянутая выше вероятность w может быть использована для выражения значимости квантовой теории в смысле «оценки». Тот про­извол, который присутствует при выборе «научных теорий такого-то и такого вида», также не создает особых трудно­стей для теорий. Он присутствует и тогда, когда мы имеем дело с отдельными случаями, например, когда мы обсуж­даем вопрос о том, можно ли вычислить вероятность ле­тального исхода при заболевании туберкулезом, опираясь на данные общей смертности при туберкулезе или на дан­ные рентгеновских снимков. Здесь можно выбрать самый узкий класс, для которого можно вычислить вероятность C достаточной уверенностью (УВ, с. 39l). Здесь имеются практические трудности, как и при всяком вычислении ве­роятности, но они ничего не могут изменить в принципи­ально статистическом характере вероятности. Bce сводится к этому принципиальному вопросу, поэтому мы не считаем возражением указание на то, что имеющийся исторический материал не является достаточным для того, чтобы дать надежную статистику для подтверждения теорий.

V

B этой связи я вынужден теперь правильно сформули­ровать еще одно утверждение Поппера, которое относится к математической теории вероятностей, но играет некото­рую роль в его изложении. Он полагает, что понятие пре­дела можно устранить из исчисления вероятностей, ис­пользуя ту интерпретацию понятия вероятности, которую я рассматривал ранее[159]. B работе УВ, п. 66 я для обсуждаемо­го понятия использовал термин «частичный предел». Со­поставленная вероятностной последовательности последо­вательность частот имеет частичный предел при p, если частота сколь угодно близко подходит к значению p, т.е.

если p является точкой накопления этой последова­тельности. Легко показать, что частичный предел стано­вится подлинным пределом, если p является единственным местом, в котором находится частичный предел. C другой стороны, можно показать: если два значения р\ и р2 явля­ются частичными пределами, то частичными пределами будут также все значения, лежащие между ними. Это выте­кает из простых соображений о продолжении последова­тельности частот.

Понятие частичного предела Поппер хочет использо­вать для интерпретации вероятности. Эта часть его сочине­ния чрезвычайно неясна. Логический порядок, необходи­мый для построения исчисления вероятностей, при этом совершенно игнорируется, поэтому соображения Поппера здесь совершенно неоправданны. Можно показать, каким образом этим соображениям можно было бы придать над­лежащую форму. Я коротко остановлюсь на этом.

Исчисление вероятностей можно разрабатывать чисто аксиоматически, как формальную дисциплину. Здесь нам не нужно как-то истолковывать понятие вероятности. B этом случае аксиомы исчисления вероятности приобре­тают вид неявных определений. Из них можно дедуциро­вать все предложения исчисления вероятностей, однако в этом случае понятие вероятности входит в эти предложе­ния как термин, не имеющий значения. Затем понятию ве­роятности можно придать некоторую содержательную ин­терпретацию, например, посредством понятия предела. Требуется показать, что такое истолкование согласуется с аксиомами, т.е. что при этом истолковании аксиомы вы­полняются. Это справедливо, в частности, для понятия предела. Если оно верно для аксиом, то оно будет верно также и для выводимых из них предложений.

Можно попытаться использовать для истолкования ве­роятности не понятие предела, а более узкое понятие час­тичного предела. Тогда выполнимость аксиом требуется доказывать особым образом. Здесь требуются более осто­рожные формулировки. Например, для теоремы сложения нельзя сказать: если для P частичные пределы находятся вблизи р9 а для Q частичные пределы находятся вблизи q, то для P ши Q частичные пределы будут располагаться вблизи p + q. Формулировка должна в этом случае выгля­деть так: если частичные пределы для P располагаются между р\ и р2, а частичные пределы для Q располагаются между q\ и q2, то частичные пределы для P или Q распола­гаются между р\ + q\ и р2 н- q2 (не заполняя целиком этого интервала).

Таким образом, это истолкование сопряжено с больши­ми трудностями, так как требуется принимать во внимание интервалы для частичных пределов. Ho если оно осуществ­лено достаточно внимательно, то такое истолкование ока­зывается верным для всех предложений исчисления веро­ятностей. Поэтому непонятно, почему Поппер особое зна­чение придает тому факту, что для используемого им ис­толкования с помощью частичных пределов, которые OH называет «средней частотой», справедлива теорема Бер­нулли. Ведь это само собой разумеется, если предвари­тельно обеспечена выполнимость аксиом при этом истол­ковании и посредством определенных требований к струк­туре последовательностей гарантирована применимость специальной теоремы мультипликации. Исследование пер­вого у Поппера отсутствует, поэтому его изложение некор­ректно; в нем нет задания интервалов для частичных пре­делов*. Ho совершенно ошибочно приписывать какое-то особое математическое значение тому факту, что теорема Бернулли выводима при отказе от истолкования с помо­щью пределов. Теорема Бернулли имеет к этому истолко­ванию столь же малое отношение, как любое другое пред­ложение исчисления вероятностей, и ее можно вывести уже в формальном исчислении вероятностей.

Можно придерживаться мнения о том, что истолкова­ние посредством частичных пределов обладает преимуще­ством по сравнению с пределами. Ранее я сам высказывал такое мнение, но ужс в своей публикации в «Erkenntnis» (см. сн. 5) я от него отказался. Именно там я показал, что из интерпретации аксиом формального исчисления вероятно­стей с помощью частичных пределов можно вывести их интерпретацию посредством пределов (в УВ доказательст­во этого представлено в п. 67). Можно показать также, что интерпретация с помощью частичных пределов не облада­ет и никакими логическими преимуществами. Логическое преимущество этого истолкования Потер усматривает в том, что существование частичных пределов математиче­ски необходимо для бесконечной последовательности час­тот. Он надеется избежать затруднений, связанных с пре­делами, - затруднений, возникающих вследствие невоз­можности задать значение пределов для экстенсионально заданной последовательности. Однако он не замечаеттого.

что те же самые затруднения возникают и для частичных пределов. Высказывание «р есть частичный предел» поро­ждает те же логические затруднения, которые связаны с высказыванием как повторение моего собственного утверждения о том, что теорию можно фальсифицировать только в том случае, если принять «схематизацию», отождествляющую высокую вероятность с 1, а низкую вероятность с 0 (вследствие чего «эм­пирическую гипотезу» Карнапа и можно рассматривать как истинную). Ho тогда исчезает асимметрия между фальсификацией и верификацией.

Во-вторых, полагает Карнап, математическую теорию Поппера можно спасти указанием на требование свободы следования Поппера (с. 537-539 наст. изд.). Эта часть защиты Поппера Карнапом устраняется моим примечанием в сн. 1 на с. 540-541, которое еще не было известно Карнапу в тот момент, когда он готовил свою рецензию. Впрочем, здесь следует подчеркнуть, что для меня, отвергающего подход Поппера в целом, его математические ошибки пе имеют значения. Даже если бы его теория была математически корректна, она ничего не дает для решения проблемы вероятности. Против его определения вероятности как свободно становя­щихся частичных пределов можно высказать все те логико-гносеоло- гические возражения, которые высказываются против теории простых пре­делов, так что математическая теория Поппера представляет собой не более чем излишнее усложнение всей этой проблематики.

Поэтому мои возражения против Поппера целиком сохраняют свою справедливость. Я не хотел бы здесь останавливаться на попытке Карна­па внссти некоторую ясность в рассмотрение проблемы вероятности ги­потез. Хочу лишь заметить, что я не считаю этот вопрос вопросом «реше­ния». Иногда в науке прибегают к решениям или конвенциям, однако вопрос 0 том, как достигнуть лучших предсказаний будущего и чего мы ждем от на- Учных теорий, нельзя решить с помощыо произвольных соглашений.