§ 3. Гармоника и пифагорейская арифметика
Самым первым, простейшим элементом музыки является музыкальный звук. Мелос, музыкально интонированный звук (голос) отличается как от любого „естественного" звука, так и от звучания текущей речи.
Музыкальный звук, будучи непрерывным во времени, имеет определенное высотное положение: мерой высоты он определяется как некое звуковое существо, отличающееся от другого звукового существа. Иными словами, музыкально интонированный голос — ступенчат, дискретен или, говоря языком современной физики, квантован (по высоте). Аристоксен в «Элементах гармоники» определяет: «Есть два вида движения: слитное (непрерывное — oovexeq) и интервальное (5іааттціатікті). Двигаясь слитно, голос воспринимается слухом так, как будто он проходит некоторое место, нигде не останавливаясь, даже на самих границах (цт|5' Є7С' oc\)TG)v tg)V яєратсоу)... Согласно же другому виду движения ... голос ... останавливается на одной высоте, затем на другой... перешагивая через промежутки между высотами, останавливаясь же на самих высотах и озвучивая только их; это и называется „петь" (p.eA,cp5eiv), т. е. двигаться интервальным движением. (...) Слитное движение мы полагаем речевым (А.оуікт|) (...) В интонировании (ev 5є тф p.eA,cp5eiv) мы... стремимся более всего, чтобы голос стоял на месте. Чем более каждый звук у нас будет единым, неподвижным {установившимся), неизменным (самовоспроизводящимся), тем более совершенным (точным — акрфєатєроу) представляется чувственному восприятию мелос». Места как бы неподвижного стояния голоса (\xo\r\ тц каі атаац Tfjq cpcovfjc;) или, как сказано выше, границы, пределы (та яерата) высоты называются «высотным положением» (TT|V Taaiv — натяжением, напряжением).Структура „высотных положений" (или внутренних „границ" звука) и есть предмет гармоники. Эта структура зримо обнаруживается в настройке и самом строении музыкальных инструментов: в отношениях натяжения струн или их длин, в расположении отверстий на духовых инструментах...
Разные сложения звукоряда определяют разные лады и музыкальные системы. Каков же простейший звукоряд, элементарная „квантовая" система, музыкальный атом? И чем определяются высотные положения, „квантовые состояния" этого музыкального атома?Принимая звук некоторой высоты за начало, за точку отсчета, за единицу, мы получим следующее „по приіюде" высотное положение там, где возникает со-звучный, подобный исходному звук (звуча вместе, они сливаются в один звук). Это и есть элементарная „гармония". Теоретическая гармоника возможна постольку, по-скольку чуткость слуха можно заменить точностью измерений и — еще точнее (однозначней) — числовых отношений. Найти такую меру в натяжениях струн невозможно, но есть простое соответствие (ана-логия) между отношением высотных положений и отношением, например, длин струн одного натяжения или одной струны — монохорда, — зажимаемой в разных местах. Именно открытие этого соответствия и лежит, как кажется, в основе пифагорейской теории музыки, т. е. в основе арифметизации гармоники. Высотные положения, соответствующие элементарным чистым созвучиям, выражаются простыми числовыми отношениями: октава — 2/1, кварта — 4/3, квинта — 3/2. Если взять струну в 12 условных единиц, то струна (того же натяжения) в 6 единиц (или та же струна, зажатая посредине) будет звучать на октаву выше; струна в 9 единиц будет звучать в кварту с первой и квинту со второй, а струна в 8 единиц — в кварту со струной в 6 единиц и в квинту со струной в 12 единиц. Интервал между квинтой и квартой — 9/8 — называется тоном. Интервал октавы складывается из интервала кварты и интервала квинты. Сложению операций (нахождение величины, стоящей в пропорциональном отношении с исходной) соответствует умножение отношений (2/1 = 3/2 X 4/3), вычитанию — деление: целый тон есть разность между квартой и квинтой (9/8 = 3/2 : 4/3). Основные интервалы можно по-разному делить на более дробные, разные деления звукоряда создают разные лады. Классическая гамма (гармония) представляет собой два тетрахорда (например, восьмиструнная лира), обнимающих каждый интервал в одну кварту и разделенных интервалом в один тон (в целом, следовательно, интервал октавы).
В основе гармоники лежат, стало быть, следующие сопоставления: (1) отдельным музыкальным тонам — целых чисел, (2) звуко- высотным интервалам (гармониям) — отношений целых чисел и (3) качествам созвучий — свойств числовых отношений (например, созвучными могут быть только кратные и эпиморные отношения ).
Положения кварты и квинты делят нтервал октавы. Деления эти связывают крайние члены (например, 6 и 12) определенным пропорциональным отношением (со-размерностью, симметрией или подобием отношений, ана-логией) или средними (цєааі). Квинта есть средняя арифметическая, а кварта так называемая средняя гармоническая (в этой пропорции больший член превышает средний на ту же свою часть, на какую часть меньшего члена превышает его средний ). Обе пропорции заключают между своими значениями значение геометрической средней, когда первый член находится ко второму в том же отношении, что второй к первому. Геометрическая средняя связывала бы крайние члены непрерывной пропорцией (а/х = х/Ь) или делила бы интервал надвое. Однако при делении интервала октавы (1/2) средняя геометрическая есть величина неопределимая (л/2) ни арифметически, ни на слух (a^oyov, irrationalis, surdus6). Методом последовательного вычитания интервалов нетрудно показать, что общей меры (единицы) для трех средних быть не может.
Между тем присоединение октав образует как раз геометрическую прогрессию (степеней двойки): 1/2 = 2/4 = 4/8. Делится же интервал октавы не надвое (не в непрерывной пропорции), а двояко: связь крайних определяется двумя средними — арифметической и гармонической, — которые образуют пропорцию (так называемую „золотую пропорцию"): 1/(4/3) = (3/2)/2 или 6/8 = 9/12.
Деление интервалов (равно как и наращивание интервалов за пределы октавы) можно продолжать неопределенно долго и раз-ными способами. Критерием здесь выступает уже только музыкальная практика. Аристоксен говорит, что слух не различает интервал, меньший наименьшей диэсы (четверть тона). Наибольшим же консонирующим интервалом он считает квинту с двумя октавами, «до трех октав мы уже не дотягиваем».
Между тем, замечает Аристоксен, если иметь в виду формальную организацию мелоса, деление и расширение может идти в беспредельность (eiq arceipov).В основе же всего идущего в беспредельность многообразия лежит элементарное диатоническое трезвучие (базовое трезвучие настройки любого инструмента): кварта, квинта, октава. Выражаются эти интервалы тремя первыми целыми числами: 1, 2, 3, 4. К тому же эти четыре числа в сумме дают десятку, т. е. воспроизводят начало — единицу — в следующем разряде. Эта четверка чисел — тетрактида — имеет, следовательно, смысл некоего порождающего начала, элементарного микрокосмоса, мировой формулы (как сказали бы сегодня), содержащей начала всеобщего устроения и соответственно постижения.
Скептик Секст Эмпирик (2-я половина II в. н. э.) на удивление емко и связно передает суть пифагорейского учения (Против ученых. VII, 93, 6—98, 2): «Началом же того, чем держится все в целом, было [у пифагорейцев] число (архл хщ x&v otaov Ькос- хасгщ арібцод);5 потому и логос, судья [различитель, разбира- тель] всего, не будучи непричастным мощи числа, мог бы быть назван числом, и для выражения этого пифагорейцы имеют обыкновение в одних случаях произносить фразу:
...числу же все подобно (арібцф 8В те MVT' ЄЯЄOIKEV),
в других же клясться клятвой, наиболее проникающей в сущность вещей (TOV ф-оаікшштоу):
о\) ца TOV ацєтєра кЕсраХа яара- 5OVTOC тєтрактг^,
myav aevaou (p-uaecoq рі^юцат' exovaav
Тем поклянемся, кто нашей главе передал четверицу, Вечнотекущей природы имущую корень источный
„Передавшим" они называли Пифагора... „Четверицей" же — некое число, которое, составляясь из первых четырех чисел, создает совершеннейшее число „десять"... Источником же вечнотекущей природы она названа постольку, поскольку весь космос, по их мнению, устроен согласно гармонии, гармония же есть система трех консонансов — кварты, квинты, октавы. (...) Поскольку Чет- верица полагает основание для числовых отношений указанных консонансов, а консонансы способны выполнять совершенную гармонию, согласно же этой гармонии устроено все, то из-за этого они и назвали ее „имущей источный корень вечнотекущей приро-ды"».