Продольный изгиб колонн

На рис. 4.30 представлена безразмерная P — і-диа- грамма для продольного изгиба упругой колонны. Коэффи­циенты σ„_Ρ и а,·, входящие в выражения для приведенного дав­ления и импульса, учитывают различные условия на концах и возможность бокового раскачивания колонны.

то следует ожидать неустойчивой реакции конструкции с боль­шими остаточными деформациями. Расчет кривой потери устой­чивости на P — '/-диаграмме проводился энергетическим мето­дом. Основной новый параметр, используемый в расчетах,— масса (не вес) междуэтажного или потолочного перекрытия М.

Рис. 4.30. Продольный изгиб балок под действием ди­намических осевых нагрузок.

ЗШ—балка с одним защемленным н другим шарнирно опертым концами, 33 — балка с двумя защемленными кон­цами; ШО — шарнирно опертая балка.

Предполагалось, что масса колонны незначительна по сравне­нию с установленным на ней массивным перекрытием. Через L, Е, I, CS_y и h обозначены соответственно полный пролет, модуль упругости, момент инерции поперечного сечения, предел теку­чести и толщина колонны. Параметром A₁ обозначена площадь кровли или междуэтажного перекрытия, на которую действует ударноволновая нагрузка. Влияние собственного веса конструк­ции не учитывалось, так как считалось, что оно мало по срав­нению с динамическими нагрузками, вызываемыми взрывной волной.

Для решения задачи о деформации колонны необходимо сно­ва задаться формой колебаний¹).

Результатом нагружения колонны является удлинение б, рав­ное S — L, где L — начальная длина колонны. Длина элемента колонны равна

Считая отклонения малыми, разложим выражение (4.110) по малому параметруи проинтегрируем полученное соот­

ношение, в результате чего получим формулу для полной длины

о

Выполнив интегрирование, найдем в первом приближении

Далее определим работу, равную

^п То есть формой потери устойчивости. — Прим. ред.

Подставив значение первой производной в формулу (4.113), по­лучим

Уравнение асимптоты режима квазистатического приложения нагрузки выводится из условия равенства потенциальной энер­гии деформации и работы

которое приводит к следующему выражению для квазистатиче- ской асимптоты в случае колонн со свободно опертыми концами в отсутствие бокового раскачивания:

Соотношение (4.117)—это формула Эйлера для продольно сжатого стержня с коэффициентом динамичности нагрузки, рав­ным 1, а не 2. Поскольку вертикальная нагрузка PA₁ не зависит от W₀, полученное соотношение совпадает с классическим усло­вием устойчивости Эйлера в приближении малых деформаций.

Для расчета реакции колонны, при продольном изгибе в ре­жиме импульсного приложения нагрузки необходимо опреде­лить кинетическую энергию, сообщаемую перекрытию с массой т. Кинетическая энергия равна

Приравняв К и U, получим уравнение асимптоты режима им­пульсного приложения нагрузки

Отметим, что в отличие от режима квазистатического приложе­ния нагрузки в режиме импульсного нагружения максимальный прогиб W₀ в уравнении асимптоты (4.120) не сокращается. Это означает, что в режиме импульсного приложения нагрузки реа­лизуется «устойчивый продольный изгиб». Сообщенная колонне кинетическая энергия может превращаться в потенциальную энергию деформации вплоть до наступления пластического со­стояния материала конструкции. Следовательно, чтобы найти связь между максимальным напряжением при изгибе (ограни­ченным пределом текучести а_у) и максимальным прогибом w₀, надо в формулу σ = MhI^tIl подставить значение максимального изгибающего момента из соотношения (4.107) при sin (nx/L) = 1.

Подставляя выражение (4.121) в уравнение (4.120), получим следующее уравнение импульсной асимптоты для балки с двумя шарнирно опертыми концами в отсутствие бокового раскачива­ния:

)

Численный коэффициент ,— это значение коэффициента а,-

для рассматриваемой системы (см. рис. 4.30). Коэффициенты а, при других условиях на концах рассчитываются аналогично. Понятие приведенной длины, используемое при статическом на­гружении, в режиме импульсного приложения нагрузки непри­менимо. В режиме импульсного нагружения колонна деформи­руется, как при поперечном изгибе, а продольный изгиб в клас­сическом смысле отсутствует. В режиме импульсного приложе­ния нагрузки остаточные деформации не возникают до тех пор, пока напряжения в колонне не достигнут предела текучести. Расчет переходной области между режимами квазистатического и импульсного приложений нагрузки основывалс^на уравнении (4.81), которое применялось ранее для аппроксимации решения в режиме динамического нагружения.

4.6.4.