Теорема Кронекера-Капелли.
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1
+ x2 
+ … + xn 
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A = 
~ 
. 
RgA = 2.
A* = 
RgA* = 3.
Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
А = 
; 
= 2 + 12 = 14 ? 0; RgA = 2;
A* = 
RgA* = 2.
Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2.
Еще по теме Теорема Кронекера-Капелли.:
- Теорема Кронекера – Капелли.
- 2. Марциан Капелл
- 12.Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд (теорема Тейлора).
- Теоремы о среднем. Теорема Ролля.
- Теоремы свертки и запаздывания.
- Теорема Лагранжа.
- 36) Основная теорема алгебры
- Теорема Бернулли.
- 2.4 Теоремы о непрерывных функциях
- Теоремы Эйлера и Ферма
- Общие теоремы
- Теоремы о противоречии