ТЕМА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Областью определения функции называют те значения , для которых данное выражение имеет смысл и значения конечны.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если для любого > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство

, то число называют пределом функции в точке , то есть A=.

Число называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство

.

Аналогично, число называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого > 0 существует > 0, такое, что из неравенства следует и =.

Например, для функции в точке имеет смысл говорить только о левостороннем пределе, а для функции в точке ─ только о правостороннем.

Можно доказать, что для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.

Если для любого существует > 0, такое, что при всех из ─ окрестности будет выполнено условие , то предел функции в точке равен бесконечности: .

Если же для любого существует , такое, что при всех , то является пределом функции при , стремящемся к бесконечности: .

Важным частным случаем последнего определения является предел числовой последовательности. Если функция задана на множестве натуральных чисел, то такую функцию называют числовой последовательностью (=), а ее предел ─ пределом последовательности Таким образом, число является пределом последовательности, если для любого существует , такое, что при выполняется неравенство .

Отметим следующие свойства пределов:

1. Если существует, то он единственный.

2. (постоянное число);

3.

4.

5. ().

Дадим несколько определений, важных для дальнейшего.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если. Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если. Функция называется ограни-ченной в окрестности точки , если существует число , такое, что при всех из этой окрестности.

Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть и ─ бесконечно малые, а ─ ограниченная функция в окрестности точки .

1. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

2. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

3. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

4. Если существует, то это равносильно тому, что в окрестности точки , где ─ бесконечно малая величина в окрестности этой точки;

5. Для монотонно возрастающей функции ( при ) или монотонно убывающей ( при ) в окрестности точки всегда существует , который конечен, если ограничена в окрестности точки .

Рассмотрим две бесконечно малые величины и в окрестности точки .

малости, чем . Записывают это следующим образом:

. Если, то и называют эквивалентными бесконечно малыми величи-нами в окрестности точки , то есть ~.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример1. Вычислить предел.

Решение. Очевидно, что числитель дроби при стремится к . Аналогично знаменатель стремится к . Тогда вся дробь будет стремиться к . Таким образом, .

Здесь мы использовали свойства пределов, о которых говорилось выше.

Пример2. Вычислить предел.

Решение. Очевидно, , а при . Таким образом, дробь будет стремиться к бесконечности, так как знаменатель ─ бесконечно малая величина, а обратная ей величина ─ бесконечно большая.

Поскольку числитель в окрестности точки ограничен, получаем: .

Пример3. Вычислить предел.

Решение. Если подставить в рассматриваемую функцию, получим ноль в числителе и знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностью вида . Встречаются также неопределенности вида ,, ,, для каждой из которых существуют свои способы вычисления пределов, то есть раскрытия неопределенности.

Вернемся к примеру. Разложим числитель на множители:

.

Рассмотрим , где и ─ многочлены степени и :

Пусть Разделим числитель и знаменатель почленно на

Нетрудно видеть, что при все слагаемые числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, по аналогии с примером 2.

Если , то , а дробь в знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:

так как величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина.

Рассмотрим теперь случай Поделив числитель и знаменатель почленно на , получим:

Таким образом,

Рассмотрим два предела: и .

С помощью несложных оценок можно показать, что Вычисление второго предела требует бoльших усилий, но можно доказать, что он равен числу (основанию натурального логарифма): Доказательства можно найти в учебниках по математическому анализу.

В силу важности этих пределов их называют замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:

; ; ;

; .

Поэтому можно утверждать, что при ~, ~, ~, ~, ~, где знак ~ означает эквивалентность соответствующих бесконечно малых величин. При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых на отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.

Пример4. Вычислить предел:

.

Решение.

Очевидно, что все подкоренные выражения при стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках ─ к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:

Пример5. Вычислить предел .

Решение. Подставив в заданную функцию , убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида . Известно, что если ─ корень многочлена , то , где ─ многочлен степени .

Следовательно, . Проще всего узнать вид многочлена , разделив на . Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:

0

Следовательно, . Тогда, разлагая на множители разность кубов в знаменателе, получим:

Пример6. Вычислить предел .

Решение. Это неопределенность вида . Домножим функцию, стоящую под знаком предела, на сопряженную сумму :

Пример7. Вычислить предел .

Решение. В данном случае имеем дело с неопределенностью вида . Преобразуем выражение в скобках, выделив единицу и бесконечно малую функцию:

Тогда

Так как при ─ бесконечно малая величина,

то

Поскольку , получаем:

Пример8. Найти предел

Решение. При рассматриваемая функция имеет неопределенность вида . Введем новую переменную . Когда переменная , переменная . Тогда рассматриваемый предел принимает вид:

так как ~, а .

Пример9. Найти предел

Решение. Неопределенность вида . При ~. Поэтому ~.

Далее, ~ .

Поэтому

Пример10. Найти предел .

Решение. Неопределенность вида . Введем новую переменную Тогда получим:

Здесь учтено, что ~ при .