ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Если некоторому множеству значений 
поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества
, то тогда говорят, что на множестве 
задана многозначная функция.
Для того чтобы обозначить, что 
есть функция от 
, используют следующие виды записи: 
; 
; 
и т.д.
Если невозможно выразить , тогда говорят, что задана неявная функция и записывают: 
; 
; 
и т.д.
Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению 
, тогда записывают: 
.
Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число 
, тогда говорят, что задана последовательность 
, которая обозначается как 
Правило, по которому формируется последовательность 
, обозначается как 
и называется общим числом последовательности.
назовем пределом последовательности 
при стремящимся к , если для любого положительного, наперед заданного числа e , определяющего окрестность точки A, можно указать такую d , что для любого , отличного от из отрезка 
значений функции 
принадлежит 
и это записывают как
. Последовательность 
называется бесконечно большой , если для любого числа 
найдется номер N, такой что для всех 
выполняется неравенство 
. Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают 
, или 
.
Последовательность называется бесконечно малой , если
ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательность сходилась к числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство 
, где 
.
Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.
Функции 
называется непрерывной при 
или в точке , если выполняется 
.А так как функция при этом должна быть непрерывной в точке , то должно быть справедливо 
.
Функция называется непрерывной в точке 
, если для всех положительных, сколь угодно малых e можно указать такое положительное число 
, для которого выполняется неравенство 
для всех из отрезка 
.
Таблица производных
Если x - независимая переменная, то справедливы формулы:
1) 
;
2) (ax)' = ax ln a, a > 0, (ex)' = ex;
3) (sin x)' = cos x;
4) (cos x)' = - sin x;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) (sh x)' = ch x;
13) (ch x)' = sh x;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
.