Классификация УМФ.

Путем перехода к новым переменным в уравнении ( 1 ) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от знака дискриминанта характеристического уравнения

a112 + 2a12 + a22 = 0 ( 2 )

1) D = a122- a11 a22 > 0 Гиперболический тип уравнения.

+ b1* + b2*+ c*u = F(p,q) или - + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

2) D = 0 Параболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b1* + b2* = F(p,q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

+ + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. Различают три вида задач для этих уравнений :

4. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов – задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения – вся плоскость;

5. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

6. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.